Beweis, dass l2 vollständig ist

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phi Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass l2 vollständig ist
Bezeichne der Raum der Folgen komplexer Zahlen x_n, mit der Norm .

Ähnlich wie in euklidischen Räumen gilt: Der Abstand der Normen (zweier Elemente) ist kleiner oder gleich der Norm der Abstände.

Behauptung: ist vollständig, d.h. jede Cauchyfolge hat `nen Grenzwert.

Beweis: Ist eine Cauchyfolge in mit , so folt wegen

,

dass eine Cauchyfolge in IR (Norm --> reell) und somit beschränkt ist (in IR haben Cauchyfolgen immer einen Grenzwert), d.h. es gibt eine Zahl mit für alle .

Bis hierhin soweit klar. Nun die Stelle an der ich hänge:

Was mich verwirrt ist, dass die Indizes mal für ein Folgenglied (komplexe Zahl), an anderen Stellen ganze Folgen bezeichnen.


Zitat:
Ferner gilt für jede natürliche Zahl n die Abschätzung

.

Also sind die Folgen
der n-ten Komponenten Cauchyfolgen in und somit konvergent, (...)


Frage: n-te Komponenten von welchen Folgen genau ?

Lieben Gruß ans Team, phi
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe lieber



Das ist eine deutlichere Schreibweise, wie ich finde. Aus



folgt dann, dass die Folge für jedes n aus IN eine Cauchyfolge in C ist.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz ist der Groschen nicht gefallen. Allgemein haben wir die Elemente definiert als



Also wäre dann

?

D.h. die Indizes j und k bezeichnen zwei Folgen, während n die n-ten Komponenten dieser beiden Folgen bezeichnen ?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das jetzt zunächst so verstanden, das x_j und x_k zwei völlig verschiedene Folgen sind mit komplexen Elementen.

Hab dann zwei geometrische Folgen konstruiert x_j:=(i/2)^n und x_k:=(i/3)^n.

Dann kann man auch den Betrag vom Abstand der (verschiedenen) n-ten Komponenten ausrechnen, und die ist auch für alle n kleiner als die Norm der Differenz , also ||x_j - x_k|| .

Soweit, so gut. Nur: Cauchyfolgen sind doch über dem Abstand zweier Folgenglieder ein und derselben Folge definiert.

Demnach müssten x_j und x_k doch aus der gleichen Folge stammen....aber dann wären die n-ten Komponenten ja gleich, woraus unsinnigerweise
|x_nj - x_nk|=0 folgen würde.


Frage: Was ist x_k ?

a) Eine Folge ?
b) Ein Element einer Folge ?

Ich bin mir sicher das (a), aber wie passt dass zur Cauchy-Definition?

c) Eine Doppelfolge ??
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
Also wäre dann

?

D.h. die Indizes j und k bezeichnen zwei Folgen, während n die n-ten Komponenten dieser beiden Folgen bezeichnen ?

Ja, genau so habe ich das gemeint. Der Trick ist hier folgender: Man zeigt zuerst, dass die Folge (von Folgen) komponentenweise konvergiert. Dann beweist man, dass das Grenzelement zu l2 gehört und dass die Folge (in l2!) gegen dieses Grenzelement konvergiert.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke WebFritzi,

jetzt ergibt alles einen Sinn!

Falls ich noch Fragen zum komplexen Grenzwert hab, meld ich mich später.


smile
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Fängst du grad an, dich mit FunkAna zu beschäftigen?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz; das Thema folgt in meinem Analysis 1 Buch (Hildebrandt) direkt hinter "Quadratische Konvergenz (von Fourierreihen)" und erklärt warum ohne Lebesque-Integr. der Raum der 2pi-periodischen Riemannintegrierbaren Funktionen nicht vollständig ist.

So 'ne Art Vorgucker, also.

Als nächstes ist bei mir erstmal komplexe Diff/Integralrechnung angesagt.
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