Beweis, dass l2 vollständig ist |
23.03.2007, 00:36 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweis, dass l2 vollständig ist Ähnlich wie in euklidischen Räumen gilt: Der Abstand der Normen (zweier Elemente) ist kleiner oder gleich der Norm der Abstände. Behauptung: ist vollständig, d.h. jede Cauchyfolge hat `nen Grenzwert. Beweis: Ist eine Cauchyfolge in l² mit , so folt wegen , dass eine Cauchyfolge in IR (Norm --> reell) und somit beschränkt ist (in IR haben Cauchyfolgen immer einen Grenzwert), d.h. es gibt eine Zahl mit für alle . Bis hierhin soweit klar. Nun die Stelle an der ich hänge: Was mich verwirrt ist, dass die Indizes mal für ein Folgenglied (komplexe Zahl), an anderen Stellen ganze Folgen bezeichnen.
Frage: n-te Komponenten von welchen Folgen genau ? Lieben Gruß ans Team, phi |
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23.03.2007, 04:34 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schreibe lieber Das ist eine deutlichere Schreibweise, wie ich finde. Aus folgt dann, dass die Folge für jedes n aus IN eine Cauchyfolge in C ist. |
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24.03.2007, 13:29 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ganz ist der Groschen nicht gefallen. Allgemein haben wir die Elemente definiert als Also wäre dann ? D.h. die Indizes j und k bezeichnen zwei Folgen, während n die n-ten Komponenten dieser beiden Folgen bezeichnen ? |
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25.03.2007, 17:51 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab das jetzt zunächst so verstanden, das x_j und x_k zwei völlig verschiedene Folgen sind mit komplexen Elementen. Hab dann zwei geometrische Folgen konstruiert x_j:=(i/2)^n und x_k:=(i/3)^n. Dann kann man auch den Betrag vom Abstand der (verschiedenen) n-ten Komponenten ausrechnen, und die ist auch für alle n kleiner als die Norm der Differenz , also ||x_j - x_k|| . Soweit, so gut. Nur: Cauchyfolgen sind doch über dem Abstand zweier Folgenglieder ein und derselben Folge definiert. Demnach müssten x_j und x_k doch aus der gleichen Folge stammen....aber dann wären die n-ten Komponenten ja gleich, woraus unsinnigerweise |x_nj - x_nk|=0 folgen würde. Frage: Was ist x_k ? a) Eine Folge ? b) Ein Element einer Folge ? Ich bin mir sicher das (a), aber wie passt dass zur Cauchy-Definition? c) Eine Doppelfolge ?? |
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25.03.2007, 17:53 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genau so habe ich das gemeint. Der Trick ist hier folgender: Man zeigt zuerst, dass die Folge (von Folgen) komponentenweise konvergiert. Dann beweist man, dass das Grenzelement zu l2 gehört und dass die Folge (in l2!) gegen dieses Grenzelement konvergiert. |
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25.03.2007, 18:00 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke WebFritzi, jetzt ergibt alles einen Sinn! Falls ich noch Fragen zum komplexen Grenzwert hab, meld ich mich später. |
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26.03.2007, 15:03 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fängst du grad an, dich mit FunkAna zu beschäftigen? |
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30.03.2007, 16:29 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht ganz; das Thema folgt in meinem Analysis 1 Buch (Hildebrandt) direkt hinter "Quadratische Konvergenz (von Fourierreihen)" und erklärt warum ohne Lebesque-Integr. der Raum der 2pi-periodischen Riemannintegrierbaren Funktionen nicht vollständig ist. So 'ne Art Vorgucker, also. Als nächstes ist bei mir erstmal komplexe Diff/Integralrechnung angesagt. |
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