Termumformung einer rekursiven Folge

03.11.2004, 12:28	Ledro	Auf diesen Beitrag antworten »
Termumformung einer rekursiven Folge Hi, ich habe Probleme bei der Termumformung: eine Folge ist rekursiv definiert und soll durch vollständige Induktion bewiesen werden. Das Ergebnis habe ich inzwischen nun, aber ich hänge und verstehe einfach nicht, wie man jeweils von n-1 auf n bzw. n+1 gelangt. Über jeden Tipp bzw. Hilfe zur Herangehensweise bin ich dankbar! Die ersten beiden Zeilen sind noch für mich nachvollziehbar (die anderen Definitionen habe ich jetzt einfach mal weggelassen, da mein Problem halt die Umformungen sind), aber wie gelangt man von der 2. Zeile zur 3. Zeile??? $\begin{eqnarray} a_{n+1} = 2a_n + 3a_{n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \frac{2}{4}(3^n-(-1)^n)+ \frac{3}{4}(3^{n-1}-(-1)^{n-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1} = (\frac{2}{4}+\frac{1}{4})\cdot 3^n-(-1)^n\cdot(\frac{2}{4}-\frac{3}{4}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \frac{3}{4}\cdot3^n-\frac{1}{4}(-1)^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \frac{1}{4}(3^{n+1}-(-1)^{n+1}) \end{eqnarray}$ Schon mal ganz lieben Dank im voraus! ciao Ledro
04.11.2004, 08:22	Nessi20	Auf diesen Beitrag antworten »
Termumformung einer rekursiven Folge HI, als erstes musst du die erste Klammer ausrechnen, da kommt ja dann 3/4 raus. In der letzten Klammer kommt (-1/4) raus. Da kannst du dann (-1)*1/4 für schreiben. Die (-1) kannst du dann mit den (-1)^n zu (-1)^n+1 zusammenfassen. Alles klar? Tschüss
04.11.2004, 12:06	Ledro	Auf diesen Beitrag antworten »
Termumformung einer rekursiven Folge klasse, danke! jetzt habe ich die letzten 3 zeilen verstanden. Also muss ich in der vorletzten zeile nur noch 1/4 ausklammern und dann habe ich 1/4(3*3^n-(-1)^(n+1)), was dann ja gleich 1/4(3^(n+1)-(-1)^(n+1)) entspricht. wow! Trotzdem habe ich jetzt leider noch das problem: wie komme ich von der 2. zur 3. zeile? sprich: die 3^(n-1) wird ja irgendwie umgeformt, aber wie? und wie komme ich einmal auf 2/4 + 1/4 und dann noch 2/4 -3/4??? über jeden weiteren tipp freue ich mich und sage schon mal danke für die mühe! ciao Ledro
04.11.2004, 14:41	Nessi20	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Termumformung einer rekursiven Folge Hallo, wenn du die Klammern ausmutliplizierst, dann erhälst du: 2/43^n -2/4(-1)^n +3/43^(n-1)-3/4(-1)^(n-1). Beim 3.Faktor, also 3/43^(n-1) kannst du auch schreiben: 1/433^(n-1). Das fasst du zusammen und erhälst: 1/43^((n-1)+1). Das gibt aber 1/43^n. Beim 4.Faktior schreibst du statt -3/4(-1)^(n-1): (-1)3/4(-1)^(n-1). Wenn du das zusammenfasst, kommt raus: 3/4*(-1)^n. Jetzt stellst du dir die ganzen Faktoren um, also du vertauschst den 2. und 3. miteinander. Und jetzt kannst du die beiden Faktoren wo ein 3^n steht ausklammern und die wo ein (-1)^n steht zusammenfassen, und du erhälst deine Formel.
04.11.2004, 15:34	Ledro	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Termumformung einer rekursiven Folge jetzt ist endlich alles klar. Danke!

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