stetiges Wachstum

03.11.2004, 14:31

crazyPower

stetiges Wachstum

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe gestellt bekommen, stehe aber total auf dem Schlauch:

(stetiges Wachstum)
Die Bevölkerung eines Landes wuchs in 10 Jahren um 26,8%. Wie groß war die jährliche Wachstumsrate?

Für einen Ansatz bin ich sehr dankbar!

cu

cP

03.11.2004, 17:27

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, auch wenn du von "stetigem Wachstum" sprichst, ist wohl "exponentielles Wachstum" gemeint. Das heißt, jedes Jahr nimmt die Bevölkerung mit demselben Faktor zu.

Ein Beispiel:

Nehmen wir an, eine Bevölkerung wächst jedes Jahr um 2,5 %. Sie ist damit nach 1 Jahr auf das 1,025-fache ihres alten Wertes gewachsen. Und dieses a=1,025 ist der Wachstumsfaktor pro Jahr. Wenn wir also eine Bevölkerung $\begin{eqnarray*} B_0 \end{eqnarray*}$ als Startwert zugrundelegen, so beträgt die Bevölkerung

nach 0 Jahren: $\begin{eqnarray*} B_0 \end{eqnarray*}$
nach 1 Jahr: $\begin{eqnarray*} B_0 \cdot a \end{eqnarray*}$
nach 2 Jahren: $\begin{eqnarray*} (B_0 \cdot a) \cdot a = B_0 \cdot a^2 \end{eqnarray*}$
nach 3 Jahren: $\begin{eqnarray*} (B_0 \cdot a^2) \cdot a = B_0 \cdot a^3 \end{eqnarray*}$

usw.

Und bei deiner Aufgabe ist die Bevölkerung in 10 Jahren um 26,8 %, also auf das 1,268-fache gewachsen.

Jetzt überlege selber, wie du hieraus das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ berechnen kannst und wie du aus dem Ergebnis anschließend die Prozentzahl bekommst.

03.11.2004, 18:39

crazyPower

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

danke erstmal für deinen Tipp. Auf diese Idee bin ich auch schon gekommen.
Deine Rechnung wäre ähnlich dem Zinseszins, aber genau das denke ich ist nicht der Wunsch des Profs.

Bevölkerungen wachsen nicht zum Ende oder zum Anfang des Jahres, sondern ständig. Fließt diese Überlegung dann auch in die Rechnung ein?

Oder denke ich mal wieder viel zu kompliziert?

MfG

cP

03.11.2004, 18:51

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

Bevölkerungen wachsen nicht zum Ende oder zum Anfang des Jahres, sondern ständig. Fließt diese Überlegung dann auch in die Rechnung ein

diese Überlegung steckt schon drin.
.

du kannst aber auch ausrechnen wieviel sie am Tag wächst
das ergibt dann pro Tag

0,0065%

03.11.2004, 23:37

crazyPower

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Poff
Bevölkerungen wachsen nicht zum Ende oder zum Anfang des Jahres, sondern ständig. Fließt diese Überlegung dann auch in die Rechnung ein

diese Überlegung steckt schon drin.
.

du kannst aber auch ausrechnen wieviel sie am Tag wächst
das ergibt dann pro Tag

0,0065%

Ich steh jetzt gerade wieder auf dem Schlauch...

also die obige aufgabe habe ich so gelöst:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[10]{1,268} =1,024028 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1,024028 \cdot 100) - 100 = 2,4028 \% \end{eqnarray*}$

Wieso kannst du jetzt einfach diese Zahl durch 360 teilen, und oben kann ich die Prozentzahl nicht teilen:

$\begin{eqnarray*} 26,8\% / 10 \end{eqnarray*}$ ???

Das Wachstum während des Jahres ist doch auch expotentiell!

MfG

cP

04.11.2004, 00:48

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von crazyPower
...
Wieso kannst du jetzt einfach diese Zahl durch 360 teilen, und oben kann ich die Prozentzahl nicht teilen: ...

das ist nicht geteilt durch 360 :-o

zwei Schaltjahre mitgerechnet sinds 'genau'
0,0065019 %

und pro Sekunde sinds
0,0000000752508 %
.

04.11.2004, 07:38

crazyPower

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi nochmal,

kannst du mir erklären wie du auf die 0,0065 % kommst.

Rechne ich nach der "Zinseszins"-Methode

$\begin{eqnarray*} \sqrt[365]{1,024028} = 0,002739726027397260273972602739726 \end{eqnarray*}$

Wo ist denn bei mir der Denkfehler?

cu

cP

04.11.2004, 08:35

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo Power,

deine idee die 365te wurzel aus 1,024 zu ziehen ist richtig;
denn wenn die bevölkerung an einem tag auf a% (a=100 + neuer Prozentanteil, also a%=1,...) steigt, gibt es (bei ausgangswert B) nach einem tag a*B Leute, nach zwei tagen a²*B Leute usf. (wie beim zinseszins.....)., da ja biologisch jeder neugeborene sofort die zeugungsfähige menschenmenge vervollständigt (da frag lieber noch mal einen biologen...).
nach 365 tagen (= 1 jahr, was ist ein schaltjahr?! *g*) gibt es dann also B*a^365 menschen (sterben tut da niemand, die mathematische unsterblichkeitstheorie kennen wir ja schon von den fibonacchikaninchen).

jetzt kennen wir die jährliche Zunahme (1,024*B0 leute nach einem jahr).

also gilt: 1,024*B0 = a^365*B0
=> a= $\begin{eqnarray*} \sqrt[365]{1,024} \end{eqnarray*}$

doch jetzt hast du dich verrechnet: was du da stehen hast (0,0027....) kann nicht die Wurzel aus einer Zahl größer 1 sein, da diese stets größer 1 sein muss ( $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ konvergiert von oben gegen 1 für ein festes x>1 und für n gegen unendlich].
tatsächlich ist es 1/365..... das ist also falsch, da helfen dir noch so viele Nachkommastellen nichts.......

ich habe mal "rund" gerechnet: $\begin{eqnarray*} \sqrt[365]{1,024} \end{eqnarray*}$ =1,00006498.
also kannst jetzt die % zuwachsrate als (1,000065 *100) - 100 berechnen und erhältst 0,0065%, wie Poff bereits festgestellt hat.

rechne es einfach nochmal nach und mach's aber nicht zu genau, da gewisse schwankungen bei menschen niemals auszuschließen sind.
und bitte komme ja nicht auf die idee, das im sekundentakt auszurechnen *g*, höchstens mal zur Übung.......

MFG Jochen

edit: Rechtschreibfehler korrigiert

04.11.2004, 09:17

crazyPower

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm,

ich sollte beim Windows rechner auch 2x "=" drücken, dann stimmts auch mit der Rechnung Hammer

Danke an alle...

cu

cP

Neue Frage »

Antworten »

stetiges Wachstum

Verwandte Themen