Durchschnitt einer Funktion dritten Grades auf [a:b]

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Akerbos Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnitt einer Funktion dritten Grades auf [a:b]
Ich glaube, ich mache es mir grade etwas schwer.

Aufgabe:


Wie groß ist die die durchschnittliche Sinkgeschwindigkeit in dieser Zeit? ( 0 - 300s )

Ich hab mir überlegt, dass ich ja im Prinzip "alle" Funktionswerte addieren und dann durch deren "Anzahl" teilen muss, habe also so angesetzt:

(Mittelwert = M)

Ich denke, das drückt das aus, was ich meine - aber wie das nun auflösen? Wenn ich mir den Graph so angucken, könnte gut 3 rauskommen...
Oder gibt es eine viel einfachere Lösung?

Danke schonmal für eure Hilfen...

Edit: denkt dran, 12. Klasse Analysis I... offiziell kennen wir noch net mal das Summenzeichen verwirrt

Edit 2: anbei ein Bild des Graphen

Edit 3:

Hatte jetzt ne andere Idee. Und zwar hab ich angenommen, dass der Graph punktsymmetrisch zu (150|3) ist und das bewiesen:




und das dürfte wohl stimmen... damit ist der Mittelwert logischerweise f(150)=3 . Aber wie würde man es machen, wenn man eine nicht symmetrische Kurve hätte?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich denk mal, Integrale hattet ihr noch nicht, deswegen nützt das nichts, was ich mir gedacht hatte. Das mit den alle Funktionswerte addieren is schon gar nicht mal so schlecht!

Du musst da aber ein wenig anders rangehen. Eigentlich ist das schon der Anfang der Integralrechnung, aber egal:
Sagen wir mal, du wüsstest, wie groß die Fläche unter dem Graphen, eingeschlossen mit der x-Achse und den Geraden x=0 und x=300 ist. Wenn du das dann durch 300 teilst, dann kriegst du da den Mittelwert M der Funktion raus. Denn: Die Fläche unter dem Graphen ist genauso groß wie die von dem Rechteck mit den Eckpunkten (0,0) ; (300,0) ; (0,M) ; (300,M). Mach dir ne Zeichnung!! Das drüfte einigermaßen klar sein.
Jetzt brauchst du also 'nur noch' die Fläche unterm Graphen. Dazu teilst du das Intervall [0,300] in n gleichgroße Intervalle, zeichne das an der x-Achse ein!. Jetzt gehst du an den Endpunkten dieser kleinen Teilintervalle jeweils hoch bis zum Funktionswert. Und jetzt bildest du für jedes Intervall ein Rechteck mit dem Funktionswert beim Endpunkt als eine Seite und der Intervalllänge als ander Seite. Dann addierst du alle Rechtecksflächen. Wenn du n immer größer, die Intervalle also immer kleiner machst, kommt die Summe der Rechtecksflächen immer näher an die unter dem Graphen. Die Fläche unterm Graphen ist Grenzwert für n gegen unendlich. Jetzt musst du nur noch den Grenzwert der Summe bestimmen. Wenn du ein n hast, dann ist die Summe also:



Jetzt den Grenzwert davon für n gegen unendlich berechnen, dazu einfach beim Funktionsterm ausmultplizieren, und dann hast es eigentlich schon Augenzwinkern

Hast du das alles verstanden?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das genau richtig gemacht mit dem Mittelwert.

Und was du unter dem Limes da stehen hast, wenn du das noch mit 300 multiplizierst, ist das nichts anderes als eine Riemannsche Summe der Funktion über dem Intervall . Und die konvergiert für gegen das Integral. Und um die Multiplikation mit 300 wieder rückgängig zu machen, mußt du noch durch 300 dividieren. Folglich gilt:




Man kann sich das auch ganz anschaulich klar machen. Im Bild unten siehst du eine Funktion (blauer Graph) und ihren Mittelwert (roter Graph). Der Mittelwert nivelliert, d.h. er sorgt für einen Flächenausgleich von oberhalb und unterhalb des Mittelwertes liegenden Teilen.

Mit anderen Worten:

Der Mittelwert ist so zu bestimmen, daß der Flächeninhalt des roten Rechtecks gleich ist dem Flächeninhalt unter dem Graphen. Das liefert sofort die Formel (im Bild gilt )



woraus du den Mittelwert berechnen kannst.

EDIT: Ich war davon ausgegangen, daß der Fragesteller schon Integralrechnung, jedenfalls in den Anfängen, kann, wenn er solch eine Aufgabe lösen muß.
Akerbos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne Integralrechnung, keine Sorge Augenzwinkern so weit sind wir dann schon noch - ich hab nur keine Verbindung von diesem Grenzwert einer Summe bzw dem Mittelwert zu Flächen bekommen. Ich versuch das grad mal nachzuvollziehen...

Edit: @ Leopold: wie kommst du von meinem "Summengrenzwert" mit einer Multiplikation mit 300 zu dem Integral? verwirrt bzw wenn ich mit dem Integral rechne, bekomme ich was falsches raus, evtl vertippt.

@ Mathespezialschüler: in meinem Zähler steht doch enstprechendes, oder? verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hätte ichs viel einfacher erklärt:
Wenn du eine Funktion f hast. Und du sollst den Mittelwert der Ableitung im Intervall [a,b] bestimmen, dann geht das ganz einfach so:



Es gibt in [a,b] sogar einen Punkt c, sodass (Mittelwertsatz), aber das nur nebenbei. Die Formel oben müsste eigentlich anschaulich klar sein.
Und ein anschauliches Beispiel dazu:
Aus der 11. Klasse müsste eigentlich bekannt sein, dass die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges ist. Wenn man jetzt zwei Zeitpunkte a und b betrachtet, dann weiß man (wahrscheinlich schon seit der 9. oder so), dass die Durschnittsgeschwindigkeit in [a,b] berechnet wird durch



Da aber die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges ist, gilt:



also:



und allgemein ist für eine beliebige Funktion f der Mittelwert M im Intervall [a,b]:

.

Ich hoffe, das war anschaulicher.
Akerbos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und du sollst den Mittelwert der Ableitung im Intervall [a,b] bestimmen


soll ich ja gar net, sondern den der Funktion Augenzwinkern

ich glaub, ich bin zu müde - danke euch, ich gucke mir das morgen oder übermorgen noch mal in Ruhe an...
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich weiß. Ich wollte das nur so machen als Einleitung. Wenn du die Ableitung gegeben hast, dann ist nämlich der Mittelwert



und somit



Das war mehr oder weniger nur ne Einleitung für das mit Weg und Geschwindigkeit ...
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