Lagebeziehungen Gerade - Ebene |
| 03.11.2004, 16:22 | stupsi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lagebeziehungen Gerade - Ebene hatte letztens schon mal eine ähnliche Frage, würd mich freuen, wenn ihr mir nochmal helfen könntet. diesmal hab ich die aufgabe: Ebene= 2x + 3y -z +2= 0 und soll die Lagebeziehung zur Geraden g: vektor x= (1/-2/-2) + t(1/2/3) nun möchte ich das mit vektoren machen, dass heißt ich muss die ebene in eine parameterform bringen. dazu lös ich die gleichung nach x,y und z auf d.h. 2x= -3s + t +2 ; x= -1,5s + 1/2t +1 x= (1/0/0) + s(-1,5/1/0) + t((1/2)/0/1) oder wie? Und wie geh ich dann weiter??? |
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| 03.11.2004, 16:34 | johko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Angenommen, deine Umrechnung stimmt: Dann mußt du untersuchen, ob sich Gerade und ebene schneiden, d.h. für welche Punkte BEIDE Gleichungen erfüllt sind (oder eben nicht) sieh dazu auch den Workshop Vektoren im Geometrie - Forum hier: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=580 Als Ergebnis kommt wirklich ein Schnittpunkt raus S (1/-2/-2). gruss Johko |
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| 03.11.2004, 16:42 | stupsi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja nur ist meine umrechnung denn richtig? bin mir nicht mal da sicher. weil im unterricht haben wir das noch nicht gemacht, sie wollte dass wir selbst drauf kommen. und in unserm lehrbuch steht da auch nichts drin.. |
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| 03.11.2004, 17:11 | stupsi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mein problem besteht auch noch darin, dass wenn ich auf kurzem weg überprüfe ob die gerade in der ebene liegt also einfach den 1.pkt in die ebenegleichung einsetzen, dann kommt da 0=0 raus, das heißt die beiden wären identisch oder bin ich jetzt vollkommen falsch???? HELP |
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| 03.11.2004, 17:21 | johko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab bei der Umrechnung was anderes raus, meine aber auch, bei dir einen Vorzeichenfehler entdeckt zu haben. Vereinfacht geht es dann mit den beiden Parameterdarstellungen so weiter: Du mußt beide gleichsetzen und erhätst darauf hin 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Gibt es eine Lösung, gibt es auch einen Schnitt(Durchstoß-)punkt. Gibt es KEINE Lösung, ist g ||E und gibt es unendlich viele Lösungen (0=0), dann liegt g in E. Johko Anmerkung: Mist Schleichserver!! |
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| 03.11.2004, 17:33 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Lagebeziehungen Gerade - Ebene
die parameterform bringt nichts! setze die gerade in die ebenengl. ein --> du erhälst ein system von 3 gl. für s und t je nach lösungsmenge ergibt sich die ´lage ebene/gerade das hatten wir doch schon? werner |
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| 03.11.2004, 17:36 | stupsi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm kannst du mir nochmal genau erklären, wie das mit der umrechnung geht, weil wir hatten das noch nicht so wirklich. sollen das als hausaufgabe selbst rauskriegen und naja schein ja nen fehler gemacht zu haben. und es kommt aber 100pro ein schnittpunkt raus? kann ich dass denn nicht so machen, mit dem Anfangspkt. einfach in die Gleichung einsetzen? also quasi 2(1) + 3(-2) + 2 +2 = 0 ?? weil dann kommt ja 0=0 raus und dann dachte ich wären die identisch. muss ich quasi erst umrechnen??? |
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| 03.11.2004, 17:40 | stupsi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@wernerin ja das hatten wir schon mal, aber unsere lehrerin möchte das unbedingt mit der parameterform haben. also quasi die ebenengleichung 2x + 3y -z +2= 0 in die Parameterform umbilden und diese dann mit der geradengleichung gleichsetzen. und dann kriegt man ja s, r und t raus etc. aber wie wandel ich das denn um?? och menno ich werds nie verstehen glaub ich. ist doch doof wenn sowas nicht im lehrbuch steht |
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| 03.11.2004, 17:48 | johko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Lehrerin will schon nix unmögliches. Natürlich geht es auch mit der Parameterform. Also ich mach das lieber anders: Ich such mir als Richtungsvektoren der Ebene zwei Vektoren, die senkrecht zum Normalenvektor sind, und als Startpunkt einen, der die Ebenengleichung irgendwie erfüllt. 2x +3y-z =0 wird z.B. von (1/0/2) erfüllt, aber auch von (0/1/3), .... Johko |
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| 03.11.2004, 17:51 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
entschuldige stupsi, schau den anhang an, du stellst also die 3 gleichungen auf wie gahabt usw. werner |
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| 03.11.2004, 17:53 | stupsi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und warum treffen die zu? sorry aber momentan ist gerade alles weg an logischen erklärungen |
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| 03.11.2004, 17:58 | stupsi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja an sich ist mir das logisch wie ich das machen muss, aber ich kann doch nicht eine parameterfreie mit einer parameterform vergleichen. und von daher müsste ich doch die ebenengleichung erstmal umformen in eine parametergleichung. nur wie mach ich das denn schritt für schritt... bitte mal ganz kleinlich erklären, damit ich das endlich mal 100pro verstehe. habs letztes mal dann auch verstanden aber irgendwie ist das schon wieder alles weg und ich kanns mir auch nicht mehr vorstellen.... 
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| 03.11.2004, 17:58 | johko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Solltest du meinen Beitrag und die Startpunkte meinen: Weil ich sie so frei gewählt habe. Und bei den Richtungsvektoren kann ich ebenso frei wählen und dabei möglichst viele nullen einsetzen. Du musst sie dir wie die vom Durchstoßpunkt ausgehenden Strahlen auf einem Bierdeckel vorstellen mit dem Normalvektor als senkrecht durchgesteckter Stricknadel. Johko |
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| 03.11.2004, 18:04 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lagebeziehungen Gerade - Ebene da steckt ein vorzeichenfehler! d.h. 2x= -3s + t +2 ; x= -1,5s + 1/2t +1 x= (1/0/0) + s(-1,5/1/0) + t((1/2)/0/1) d.h. 2x= -3s + t +2 ; x= -1,5s + 1/2t -1 x= (-1/0/0) + s(-1,5/1/0) + t((1/2)/0/1) g: vektor x= (1/-2/-2) + r(1/2/3) die erste von den 3 gleichungen (für x) lautet: 1 + r = -1 - 1,5s + 0,5t nun stellst du noch die für y und z(-koordinaten) auf ist es jetzt besser? (zur info : ich erhalte eine eindeutige lösung r = 0 ) gruß werner |
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| 03.11.2004, 18:08 | stupsi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und wieso -1??? 2:2 sind doch 1 und nicht minus 1 |
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| 03.11.2004, 18:11 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
noch eine zeile höher! Ebene= 2x + 3y -z +2= 0 rechts + 2 --> links ? werner |
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| 03.11.2004, 18:11 | johko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Macht mal allein weiter . ... meine Beiträge werden offenbar eh nicht gelesen. Johko |
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| 03.11.2004, 18:12 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
entschuldige, das hat sich überschnitten werner |
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| 03.11.2004, 19:08 | stupsi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achso ja alles klar ok danke schön |
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| 03.11.2004, 19:19 | stupsi1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kommt dann als schnittpunkt S(0,-2,-2) raus??? |
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| 03.11.2004, 19:52 | koRn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast du die hessische Normalform drauf ? Dann ist die Aufgabe in ein paar Sekunden gelöst . Du berechnest einfach die hessische Normalform der Ebene und setzt dort die Geradengleichung ein . Danach hast du einen exakten Wert für deinen Parameter r, den du in die Geradengleichung wiederum einsetzen kannst um den Schnittpunkt zu erhalten . |
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| 03.11.2004, 20:16 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versuchs dir mal anders zu erklären. Eine Ebene ist wie ein Blatt Papier, das du in die Luft hältst und das sich in alle Richtungen durchs ganze Universum ausdehnt. Eine Gerade ist wie ein unendlich langer Bleistift. Nun gehts darum, zu zeigen, wie ein Bleistift zum Blatt Papier liegen kann. 1. Entweder du hältst beide parallel in die Höhe - dann haben die keinen Schnittpunkt. 2. Wenn du den Bleistift aber nur ein bisserl schräg in die Luft hältst, haben die schon einen Schnittpunkt miteinander. 3. Es kann aber auch sein, dass der Bleistift auf deinem Papier drauf liegt. Dann heißt das, dass jeder Punkt der Gerade auch ein Punkt der Ebene ist. Also haben die beiden unendlich viele Schnittpunkte miteinander. Wie zeigst du nun das? Und zwar: (Man muss nicht beide auf die gleiche Form bringen....das ist NIE nötig. Vor allem wäre das total kompliziert und umständlich und würd mehr Zeit brauchen) Die Geradengleichung sieht so aus: X = bekannter Punkt + lambda * Richtungsvektor Links steht X. X ist irgendein beliebiger Punkt, der auf der Gerade oben ist. Die Geradengleichung soll dir ja ermöglichen, dass du jeden beliebigen Punkt X, den DU haben willst, berechnen kannst. Und dieser Punkt X besteht aus einer x-Koordinate, einer y-Koordinate und einer z-Koordinate. Und du willst den einzigen Punkt, den die Gerade mit der Ebene gleich hat, berechnen. Daher musst du sagen: X ( von meiner Geraden) = X ( von meiner Ebene) daher drückst du dir aus der Geradengleichung das x, das y und das z aus und setzt es für x, y, z in die Ebenengleichung ein. X = (1/-2/-2) + t * (1/2/3) x = 1 + 1t y = -2 + 2t z = -2 + 3t und wenn du das in die Ebenengleichung einsetzt, bekommst du für t eine Zahl heraus, die du wieder in die Geradengleichung zurückeinsetzt und dann hast deinen Schnittpunkt. Wenn das t sich aufhebt und zu 0 wird dann gibt es 2 Möglichkeiten: wenn steht: 0 = 0 oder 3 = 3...also wenn eine wahre Aussage rauskommt, dann war die Gerade auf der Ebene oben und es gibt unendlich viele Schnittpunkte. wenn eine falsche Aussage rauskommt ( 7 = 2...oder 0 ist 5) dann waren die beiden parallel und es gibt keinen einzigen Schnittpunkt miteinander. lg kiki |
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| 02.06.2005, 16:32 | KUBI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
..alles komplett falsch: du musst in 2x + 3y - z =0 folgendes einsetzten x= 1 + t y= -2 + 2t z= 2 + 3t ---das heisst: 2(1+t) + 3(-2 +2t) - 1(2 + 3t) 2 + 2t - 6 + 6t - 2 + 3t =0 -6 + 11t = 0 11t = 6 t= 11/6 dieses t setzt du so ein: g:X= (1/-2/2) + 11/6*(1/2/3) so bekommst du den schnittpunkt... |
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