Konstruieren einer konvergenten Reihe

03.11.2004, 17:18

Snoop

Konstruieren einer konvergenten Reihe

Hallo,

ich habe eine Aufgabe bekommen, mit der ich ja mal so garnichts anfangen kann:

Konstruiere eine konvergente Reihe
Summe von k=0 bis unendlich von a mit Index k (sorry, aber der Formeleditor hat es irgendie nicht getan) mit dem Wert Areasinh (1) !!!

KAnn mir da jemand weiterhelfen ???

Danke !

03.11.2004, 18:50

Mazze

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Ich kenn den Funktionswert von Asinh(1) nicht aber ich würde es so machen. Der Grenzwert der konvergenten geometrischen Reihe ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 - \alpha} \end{eqnarray*}$

Der soll also gleich dem Funktionswert Asinh(1) sein. Also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 - \alpha} = Asinh(1) \end{eqnarray*}$

So, sollte für alpha ein Wert zwischen 0 und 1 herauskommen kannst Du Asinh(1) durch eine geometrische Reihe darstellen. Andernfalls könnte man sich mal die Taylorreihenentwicklung von Asinh anschauen und um die Stelle 1 entwickeln.

03.11.2004, 19:03

Mathespezialschüler

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Es kommt zwar kein Wert zwischen 0 und 1 raus, aber zwischen -1 und 0. Damit lässt sich ebenfalls eine geometrische Reihe konstruieren Augenzwinkern

03.11.2004, 19:13

Mazze

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Stimmt

Wie sieht den Asinh(x) expliziet aus? Ich bin jetzt zu Faul die Umkehrung zu berechnen :P

03.11.2004, 19:35

Mathespezialschüler

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Also erhlich gesagt, ich hab noch nich geschafft, das nach x umzustellen:

$\begin{eqnarray*} e^x-e^{-x}=2y \end{eqnarray*}$

edit: Geht aber irgendwie doch, nach Wiki is

$\begin{eqnarray*} \mbox{arsinh}(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2}) \end{eqnarray*}$

Ich probiers mal richtig ...

PS: Hammer

geht nicht mehr mit :P, sondern mit

code:
1:	:hammer:

03.11.2004, 19:39

Mazze

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die Ableitung des Asinh ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

Integrierst Du das also bekommt man auch die expliziete Form, aber ich hab die Vorahnung das sich das Ding nicht so einfach integrieren lässt. Eins weiß ich, Asinh ist auf ganz R definiert und streng wachsend. ich hab hier sogar n Schaubild davon, aber keine expliziete form ^^

03.11.2004, 19:43

Mathespezialschüler

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Das zu Integrieren ist zwar nicht so einfach, aber auch nich unglaublich schwer. Ich hatte sogar mal nen Thread dazu aufgemacht, da hab ichs dann auch gelöst. Aber die Umkehrfunktion hab ich ja oben schon angegeben Augenzwinkern

edit: Auf die Umformung für die Umkehrfunktion muss man erstmal kommen, aber so schwer wars dann doch nicht. Wenn man denn mal bei

$\begin{eqnarray*} e^{2x}-2ye^x=1 \end{eqnarray*}$

angelangt ist, gehts mit quadratischer Ergänzung und das könnte man schon sehen
Dass man dann auch nur eine Lösung beim Wurzelziehen bekommt, kann man sich dann auch noch klar machen (denn $\begin{eqnarray*} e^x-y=e^x-\frac{e^x-e^{-x}}{2}>0 \end{eqnarray*}$ ) Augenzwinkern

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