Euler Charakteristik der 2-Sphäre |
| 03.11.2004, 17:18 | Mira007 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Euler Charakteristik der 2-Sphäre ich verstehe nicht warum die Eulercharakteristik der 2-Sphäre gleich 2 ist. Eigentlich besteht sie doch aus 0 Ecken, 0 Kanten und 1 Fläche. Daher sollte die Eulercharakteristik gleich 1 sein. Wo liegt mein Denkfehler? Danke für jede Hilfe! |
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| 03.11.2004, 19:29 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei der Euler-Charakteristik geht es um die Frage der möglichen Triangulierungen. Genauer fragt man: Wie läßt sich eine Fläche in ein Netz von Simplizes zerlegen? Die Simplizes mußt du dir als gekrümmte Dreiecke vorstellen. Ein Simplex muß dabei mit einem angrenzenden Simplex eine gemeinsame Kante besitzen. Überlappungen sind nicht zulässig. Wenn du nun die 2-Sphäre mit einem Netz von solchen Simplizes überziehst, so gilt immer wenn die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen des Netzes bezeichnen. Beispiel: Denke dir ein dreidimensionales kartesisches xyz-Koordinatensystem und darin eine Kugel um den Ursprung. Die Koordinatenebenen schneiden aus der Kugel Kreisbögen aus. Diese Kreisbögen begrenzen acht Simplizes (ein Simplex ist also die Fläche einer Achtelkugel). Dann gilt für dieses Netz: Und wie auch immer du die Triangulierung vornimmst, immer erhältst du diese Zahl 2 als Ergebnis. Damit ist diese Zahl keine allein dem Netz, sondern der ganzen 2-Sphäre zukommende charakteristische Größe. Das ist der Sinn der Eulerschen Charakteristik. |
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