lub-Norm = Zeilensummennorm?

23.03.2007, 12:19

Hans 2

lub-Norm = Zeilensummennorm?

Hi,
ich habe ein kleines Problem - wahrscheinlich stehe ich auf dem Schlauch:

Ich soll zeigen, daß die durch $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_{\infty} \end{eqnarray*}$ induzierte lub-Norm mit der Zeilensummennorm übereinstimmt.

Eine durch $\begin{eqnarray*} ||\cdot|| \end{eqnarray*}$ induzierte lub-Norm ist ja folgendes: $\begin{eqnarray*} lub(A) = \max_{x \in \mathbb{R}^n, ||x||=1}||Ax|| \end{eqnarray*}$

Dann ist:

Sei $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij})_{i,j=1,...,n} \end{eqnarray*}$ eine reguläre reelle nxn-Matrix, $\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty} \end{eqnarray*}$ die Maximumsnorm des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} lub_{\infty}(A) = \max_{||x||_{\infty}=1} ||Ax||_{\infty} = \max_{||x||_{\infty}=1} (\max_{i = 1,...,n} |\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j|) \overset{?}{\leq} \max_{i = 1,...,n} |\sum_{j=1}^n a_{ij}| \end{eqnarray*}$

Warum gilt am Ende Gleichheit? $\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty} = \max |x_j| = 1 \end{eqnarray*}$ . Bei Gleichheit müßte doch $\begin{eqnarray*} \forall_{j} |x_j|=1 \end{eqnarray*}$ sein, oder?

26.03.2007, 10:29

Dual Space

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RE: lub-Norm = Zeilensummennorm?
Die Gleichheit gilt im Allgemeinen an dieser Stelle nicht.

26.03.2007, 11:20

Hans 2

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Und wo liegt mein Fehler? Habe ich falsch angesetzt? Daß die Aussage richtig ist, ist ja bekannt.

26.03.2007, 13:49

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Zitat:

Original von Hans 2
Daß die Aussage richtig ist, ist ja bekannt.

Da bin ich anderer Meinung - die Betragszeichen sollte man schon an die richtige Stelle setzen...

Zunächst kann man die beiden Maxima vertauschen:

$\begin{eqnarray*} \max_{\|x\|_{\infty}=1} \left( \max_{i=1,\ldots,n} \left| \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right| \right) = \max_{i=1,\ldots,n} \left( \max_{\|x\|_{\infty}=1} \left| \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right| \right) \end{eqnarray*}$

Und was das innere Maximum betrifft, gilt

$\begin{eqnarray*} \max_{\|x\|_{\infty}=1} \left| \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right| = \sum_{j=1}^n |a_{ij}| \end{eqnarray*}$

< folgt unmittelbar aus der Dreiecksungleichung. Und für = setzt man einfach $\begin{eqnarray*} x_j=\operatorname{sgn}(a_{ij}) \end{eqnarray*}$ ein, für diese $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ ist nämlich $\begin{eqnarray*} a_{ij}x_j = |a_{ij}| \end{eqnarray*}$ .

03.04.2007, 21:49

Moby

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Hi,
ich habe die selbe Aufgabe. Bin mir auf diesem Gebiet noch nicht soo sicher und wollte mal fragen, ob meine Lösung so richtig ist oder ob noch etwas fehlt?

$\begin{eqnarray*} lub_{\infty}(A) &=& \max_{x \neq 0} \frac{||Ax||_{\infty}}{||x||_{\infty}} \leq \max_{x \neq 0} \frac{\max_i \sum_j |a_{ij}||x_j|}{||x||_{\infty}}\\ &\leq& \max_i \sum_j |a_{ij}| \end{eqnarray*}$

und die andere Richtung:

$\begin{eqnarray*} lub_{\infty} (A) &=& \max_{x \neq 0} \frac{||Ax||_{\infty}}{||x||_{\infty}} \geq \frac{||Ax||_{\infty}}{||x||_{\infty}}\\ &=& \frac{\max_i \left| \sum_j a_{ij} x_j \right|}{||x||_{\infty}} \overset{x_j := sign(a_{ij})}{=} \max_i \sum_j |a_{ij}| \end{eqnarray*}$

Und beides zusammen: $\begin{eqnarray*} lub_{\infty}(A) = \max_i \sum_j |a_{ij}| \end{eqnarray*}$

Oder geht das auch in "einem Rutsch", also direkt ohne die beiden Ungleichungen?

Schonmal danke fürs Durchlesen!

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