extremwertaufgabe

23.03.2007, 19:20

Devil-of-Tora

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extremwertaufgabe

hi leute... Augenzwinkern

Augenzwinkern

also ich hab eine extremwertaufgabe zu bearbeiten..aber komm ni so richtig zum ansatz....
also hier erstmal die aufgabenstellung:

In eine gegebene Halbkugel mit dem Radius R soll ein gerader Kreiskegel so einbeschrieben werden, daß sein volumen maximal groß wird! Die Spitze des Kegels liegt im Mittelpunkt der Grundfläche der Halbkugel.Bestimmen sie Radius, Höhe und VOlumen in Abhängigkeit von R!

könnt ihr mir vllt mal ein paar starttips geben oder so???

mfg
Devil-of-Tora

23.03.2007, 19:33

zt

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Wie lautet denn die Formel für den Halbkreis?

23.03.2007, 20:04

Devil-of-Tora

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wie formel für den halbkreis??? es ist nicht mehr gegeben als das was in dem text steht....tut mir leid wenn ich was falsch versteh...

23.03.2007, 20:08

zt

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Du sollst die Formel ja auch selbst aufstellen.

Tipp: Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse r (r=Radius) und löse r^2=x^2+y^2 nach y auf.

Soweit klar?

26.03.2007, 21:26

zt

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Halbkreis:

$\begin{eqnarray*} R^2=r^2+\left(f(r)\right)^2\quad\Leftrightarrow\quad{f(r)} = \sqrt{R^2-r^2} \end{eqnarray*}$

Kegelvolumen:

$\begin{eqnarray*} V(r,h)=\frac{\pi}{3}r^2h \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} h=f(r) \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} V(r)=\frac{\pi}{3}{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}} \quad\rightarrow\quad\ V'(r)=.. \quad\rightarrow\quad\ V'(r)=0 \quad\Leftrightarrow\quad\ r=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}R \end{eqnarray*}$

usw.

28.03.2007, 21:29

Devil-of-Tora

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stimmt die erste ableitung???

$\begin{eqnarray*} V'(r)= \frac{2*r*\sqrt{R²-r²}* \pi}{3} - \frac{r³*\pi}{3*\sqrt{R²-r²}} \end{eqnarray*}$

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29.03.2007, 03:34

Bjoern1982

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Ja, ist richtig.
Jetzt nur noch Hauptnenner bilden und auf einen Bruch bringen, damit du nachher beim Nullsetzen der Ersten Ableitung bequem nur den Zähler gleich null setzen kannst.

Gruß Björn

29.03.2007, 18:30

Devil-of-Tora

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$\begin{eqnarray*} V'(r)= \frac{(2r*(\sqrt{R²-r²})*\pi)*(\sqrt{R²-r²})-r³*\pi}{3*\sqrt{R²-r²} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V'(r) = \frac{2r * (R²-r²) * \pi - r³ * \pi}{3*\sqrt{R²-r²}} \end{eqnarray*}$

29.03.2007, 19:57

Devil-of-Tora

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$\begin{eqnarray*} V'(r) = \frac{2r \pi R² - 2r \pi r² - r³* \pi}{3*\sqrt{R²-r²}} \end{eqnarray*}$

29.03.2007, 19:59

TheGreatMM

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auf jeden Fall noch r ausklammern und dann Produkt-Null Regel

29.03.2007, 20:02

Devil-of-Tora

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so..das ganze jetzt mal nenner

$\begin{eqnarray*} 0 =2r \pi R² - 2r \pi r² - r³* \pi \end{eqnarray*}$

und jetzt nach r umstellen oder??

29.03.2007, 20:06

TheGreatMM

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nee wie vorher gesagt r ausklammern und dann die möglichen Lösungen für r ermitteln...

29.03.2007, 20:27

Devil-of-Tora

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$\begin{eqnarray*} 0 = r*\pi(2R^2-(2 \pi -1)r^2) \end{eqnarray*}$

r1= 0
r2= ?

29.03.2007, 20:32

TheGreatMM

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der Ausdruck ist so falsch... Klammerfehler

29.03.2007, 20:34

Devil-of-Tora

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kannst du mir bitte sagen wie er richtig ist??
wär nett..weil hab ni mehr viel zeit..un brauch es bis morgn...
bitte...
wenn du icq oder so hast könntest mir ja vllt gleich dort helfen...

29.03.2007, 20:40

TheGreatMM

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Zitat:

Original von Devil-of-Tora
kannst du mir bitte sagen wie er richtig ist??
wär nett..weil hab ni mehr viel zeit..un brauch es bis morgn...
bitte...
wenn du icq oder so hast könntest mir ja vllt gleich dort helfen...

nee wenn ist das ja für die Allgemeinheit und nicht nur für dich... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Devil-of-Tora
$\begin{eqnarray*} 0 =2r \pi R² - 2r \pi r² - r³* \pi \end{eqnarray*}$

und jetzt nach r umstellen oder??

$\begin{eqnarray*} 0 =2r \pi R² - 2 \pi r^3 - r³* \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \pi r \cdot (2R² - 2r^2 - r^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \pi r \cdot (2R² - 3r^2) \end{eqnarray*}$

29.03.2007, 20:44

Devil-of-Tora

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ok...danke...
dann gibt es 2 lösungen, da quadratische gleichung....

die erste ist 0
und wie bekomm ich die zweite lösung?? das ist ja das r in der klammer oder?

29.03.2007, 21:11

mYthos

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Ein Produkt ist dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Also einfach den Term in der Klammer Null setzen .... und nach r lösen.

mY+

29.03.2007, 21:16

Devil-of-Tora

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http://img161.imageshack.us/img161/8320/p1010233aic0.jpg

also ich habs jetzt so...und hoffe mal das es richtig ist...

ps: $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3} R^2 / 3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{\pi R^2}{9} \end{eqnarray*}$ oder?

29.03.2007, 21:25

mYthos

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Nein, so stimmt das nicht, denn du hast bei V den Faktor pi/3 nicht richtig ausgeklammert (bzw. hinten nicht mitmultipliziert)! Für die Bestimmung der Extremstelle hättest du diesen von Vornherein weglassen können, weil er eine Konstante für die GANZE Funktion darstellt.

mY+

29.03.2007, 21:27

Devil-of-Tora

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und wie muss es richtig sein??
also der weg bis h=??
wäre jetzt echt wichtig für mich wenn das mir mal jemand sagn könnte..brauch es unbedingt für morgen...

29.03.2007, 21:39

mYthos

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Ich sagte dir doch, das pi/3 bleibt als konstanter Faktor vorne stehen, das auch bei der Ableitung und auch beim Nullsetzen! Daher kannst es doch gleich weglassen, also

$\begin{eqnarray*} V(h) = (R^2 - h^2)h \end{eqnarray*}$

Das nun ableiten, Null setzen, usw. das ganze Procedere halt ...

Mach das bitte jetzt (gleich hier, brauchst nicht wieder ein Bild einscannen), ich kann dir dann gerne sagen, ob es stimmt ...

mY+

29.03.2007, 21:39

TheGreatMM

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Zitat:

Original von Devil-of-Tora
kannst du mir bitte sagen wie er richtig ist??
wär nett..weil hab ni mehr viel zeit..un brauch es bis morgn...
bitte...
wenn du icq oder so hast könntest mir ja vllt gleich dort helfen...

nee wenn ist das ja für die Allgemeinheit und nicht nur für dich... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Devil-of-Tora
$\begin{eqnarray*} 0 =2r \pi R² - 2r \pi r² - r³* \pi \end{eqnarray*}$

und jetzt nach r umstellen oder??

$\begin{eqnarray*} 0 =2r \pi R² - 2 \pi r^3 - r³* \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \pi r \cdot (2R² - 2r^2 - r^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \pi r \cdot (2R² - 3r^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 2R² - 3r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2R² = 3r^2 \end{eqnarray*}$

durch drei und Wurzelziehen

ab deinen Punkt oben... deine Schrift ist zu schwer zu lesen sorry

29.03.2007, 21:48

Devil-of-Tora

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$\begin{eqnarray*} V'(h)=R²-3*h² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 =R²-3*h² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3h² =R² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h² = \pm \frac{R²}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h= \pm \sqrt{\frac{R²}{3}} \end{eqnarray*}$

stimmt so?

29.03.2007, 21:53

mYthos

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nein!! Du verletzt die GRUNDREGELN (ab der 3. Zeile ist es falsch) der Äqivalenzumformungen ...

mY+

29.03.2007, 21:56

Devil-of-Tora

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habs geändert...hatte mich vertan..

hier nochmal

$\begin{eqnarray*} V'(h)=R²-3*h² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 =R²-3*h² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3h² =R² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h² = \pm \frac{R²}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h= \pm \sqrt{\frac{R²}{3}} \end{eqnarray*}$

29.03.2007, 22:01

mYthos

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Das Minus ist obsolet, denn die Höhe ist eine Länge und demnach positiv.
Beim Ergebnis noch teilweise Wurzelziehen ..

$\begin{eqnarray*} h = \frac{R}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Daraus nun noch r, V, O berechnen

mY+

29.03.2007, 22:13

Devil-of-Tora

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} r^2=R²-\frac{R}{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{R²-\frac{R}{\sqrt{3}}} \end{eqnarray*}$

das ist erstmal r, kann man das noch zusammenfassen?

29.03.2007, 22:19

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist leider wiederum falsch, denn du hast den zweiten Summanden nicht quadriert!

mY+

29.03.2007, 22:23

Devil-of-Tora

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ohja..stimmt..hat ich ganz vergessen

$\begin{eqnarray*} r^2=R²-(\frac{R}{\sqrt{3} })² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=R-\frac{R}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

29.03.2007, 22:30

mYthos

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Du missachtest leider fortgesetzt alle algebraischen Regeln! Die Wurzel aus einer Summe oder Differenz ist NICHT gleich der Summe oder Differenz der Wurzeln aus den einzelnen Summanden!

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} r^2 = R^2 - \frac{R^2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^2 = \frac{2R^2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^2 = \frac{2}{3} R^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

29.03.2007, 22:36

Devil-of-Tora

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jo..stimmt...sorry..bin ni mehr so fit heut abend.. Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber wird schon

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{\frac{2}{3}} R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V= \frac{\pi}{3}(\sqrt{\frac{2}{3} }R)²* \frac{R}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

29.03.2007, 22:55

Devil-of-Tora

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@mythos:

kannst du mir vllt mal beim vereinfachen helfen????????

29.03.2007, 23:00

mYthos

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V stimmt schon mal, aber das kannst noch ausquadrieren, multiplizieren, ....

$\begin{eqnarray*} V = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{2R^2}{3} \cdot \frac{R}{\sqrt{3}} = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

29.03.2007, 23:03

Devil-of-Tora

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jo....soweit war ich auch schon..aber muss ich jetzt den hauptnenner auf wurzel(3) machen?

29.03.2007, 23:08

mYthos

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Sorry, Hauptnenner?? Das ist ein Produkt! Wie multipliziert man denn Brüche ??

mY+

29.03.2007, 23:16

Devil-of-Tora

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$\begin{eqnarray*} V = \frac{2\pi R³}{9*\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

so müsste das doch stimmen oder hab ich was falsches gedacht??

29.03.2007, 23:22

mYthos

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OK!

smile

mY+

29.03.2007, 23:25

Devil-of-Tora

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ok...danke für deine geduld smile

smile

und wünsch dir morgen einen schönen geburtstag...kannst mich ja mal @ icq aufnehmen smile

smile

gn8

29.03.2007, 23:33

mYthos

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Danke sehr!
ICQ n.p., bin allerdings nicht sehr oft ON.

Gr
mY+

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