Grenzwert finden

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04.11.2004, 00:13

Anaiwa

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Grenzwert finden

04.11.2004, 00:20

kikira

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RE: Grenzwert finden
Was verstehst du dabei nicht? Woran scheitert es?

lg kiki

04.11.2004, 00:26

Mathespezialschüler

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Du musst den Grenzwert erstmal mehr oder weniger erraten, is aber nich schwer. Dann stellst du die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\epsilon \end{eqnarray*}$ nach n um und dann biste schon fast fertig Augenzwinkern

04.11.2004, 00:27

Anaiwa

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Mhh brauch hier mal nen Anstoß:

Geb auch nur eine aufgabe vor:

In I) gilt jeweils $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } a_n=a \end{eqnarray*}$ . Man finde den Grenzwert a und gebe N an, so dass mit dem gegebenen Wert von $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |a_n-a|< \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n > N gilt.

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\sqrt{n} }; \epsilon=0,05 \end{eqnarray*}$

also ich kenne diese Formel:

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{\sqrt{n} } - 0.05| \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

aber diese Gleichung muss ich schon für diese Aufgabe anwenden:

Verwenden sie die formale Def. des Grenzwertes. um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } a_n=a \end{eqnarray*}$ zu begründen, d.H. zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gebe man N an, so dass [/latex] $\begin{eqnarray*} |a_n-a|< \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n > N gilt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \frac{1}{n^2+1}; \epsilon=0 \end{eqnarray*}$

und ich denke nicht das der 2 mal von uns das gleiche verlang. War ja auch nie bei den andren aufgaben.

Oder verwechsle ich hier was?

04.11.2004, 00:33

kikira

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Was er da will ist, dass du eine Annahme für den Grenzwert suchst und die dann durch Einsetzen in die Formel beweist.

Daher musst zuerst mal unendlich für n einsetzen, sodass du siehst, wie der Grenzwert hier ist.

04.11.2004, 00:37

Anaiwa

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Reden wir übe die zweite oder erste Aufgabe?

04.11.2004, 00:38

kikira

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Dein Grenzwert ist 0 - daher: für a 0 einsetzen

| an - 0 | < epsilon

dann für an deine Folge einsetzen:

|1/sqrt(n) - 0| < epsilon

und jetzt auflösen, aber beachten, was mit den Betragstrichen passiert
und durch was du die Ungleichung dividierst...

zum Schluß soll stehen:

n >....blablabla

das heißt, du musst nach n auflösen.

und dann für epsilon 0,5 einsetzen....dann kriegst du raus, ab dem wievielten Folgeglied die Umgebung von epsilon kleiner als 0,5 ist.

lg kiki

04.11.2004, 00:47

kikira

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Wart...ich erklär das anders.

Also..wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann kannst du das 23904823948230millionste Folgeglied berechnen und es wird trotzdem nie den Grenzwert erreichen.

Jetzt will dein Prof bei dieser Aufgabe, dass du erstmal beweist, ob diese Folge überhaupt einen Grenzwert hat.

Und dazu setzt du gaaaaaaaaaanz hohe Zahlen ( also eigentlich unendlich) ein, um zu schauen, gegen welchen Wert die Folge geht.
Denn deine Folge nähert sich unendlich an 0 an. Setz ganz hohe Zahlen ein, dann siehst dus.

Der Beweis, dass die Folge einen Grenzwert hat, muss sein:

Wenn ich vom höchsten Folgeglied den Grenzwert abziehe und Betrag mache, damit keine Minuszahl rauskommt, dann soll das kleiner werden als die Zahl 0,05 (also dein Epsilon). Denn damit ist bewiesen, dass sich die Folge immer näher und näher an den Grenzwert heranschiebt, ihn aber nie erreichen wird.

und die 2. Frage deines Professors ist dann, ab dem wievielten Folgeglied, ist die Differenz zwischen Grenzwert und der Zahl deines Folgeglieds kleiner als 0,05.

verstehst?

lg kiki

04.11.2004, 00:58

Mathespezialschüler

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Da sind mal wieder n paar kleine Fehler drin kikira Augenzwinkern

1. Es gibt genug Folgen, die ihren Grenzwert erreichen, so z.B. die konstante Folge $\begin{eqnarray*} a_n=3 \end{eqnarray*}$ , die nimmt sogar immer ihren Grenzwert an.

Zitat:

Original von kikira
Wenn ich vom höchsten Folgeglied den Grenzwert abziehe und Betrag mache, damit keine Minuszahl rauskommt, dann soll das kleiner werden als die Zahl 0,05 (also dein Epsilon). Denn damit ist bewiesen, dass sich die Folge immer näher und näher an den Grenzwert heranschiebt, ihn aber nie erreichen wird.

Das ist damit noch lange nich bewiesen, man muss vieleher beweisen, dass für jede positive Zahl der Betrag kleiner als die Zahl wird. Wenn man es für 0,05 gezeigt hat, so kann man lediglich sagen, für den Grenzwert a gilt $\begin{eqnarray*} -0,05<a<0,05 \end{eqnarray*}$ , was noch lange nicht heißt, dass a=0!!
Achja und ein "höchstes" Folgenglied, was soll das sein? Das größte oder das, wo n am größten ist?? Letzteres wäre völliger Schwachsinn und ersteres muss man ganz und gar nicht zeigen. Man muss 'nur' zeigen, dass ab einem bestimmen Folgenglied alle folgenden Glieder die Eigenschaft haben, dass ihre Differenz zum Grenzwert betragsmäßig kleiner als epsilon ist.

04.11.2004, 01:02

Anaiwa

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das habe ich raus

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{\sqrt{n} }-0|< \epsilon \end{eqnarray*}$ <--> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n} } < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n} } < \epsilon \end{eqnarray*}$ |* $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon } < \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ |()²

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\epsilon })^2 < n \end{eqnarray*}$

setzen wa 0,05 ein kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{0,05 })^2 < n \end{eqnarray*}$

n > 400

04.11.2004, 01:06

Leopold

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... und als der MSS noch ein kleiner Lausbub war, da klang das so. Augenzwinkern

04.11.2004, 01:08

Mathespezialschüler

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Und jetzt musst du das ganze noch in einen mathematisch korrekten Beweis packen, dass es für jedes epsilon ein n gibt, sodass ... . Das hast du eigentlich schon sogut wie geschafft, jetzt nur noch von 0,05 allgemein auf epsilon übertragen Augenzwinkern

@Leopold
Du bist gemein X( Augenzwinkern

Das waren ja sogar noch mimetex-Zeiten ... Hammer

"Moderatoren-Verarsche" gibt gleich Forum Kloppe

04.11.2004, 01:14

kikira

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genau...die Betragsstricherln darfst erst dann auflösen, wenn sicher ist, dass der Ausdruck, mit dem du multiplizierst, auch sicher positiv ist, sonst musst Zeichen umdrehen und nachdem Wurzel aus n niemals negativ werden kann, weil man für n nur die natürlichen Zahlen einsetzen kann, darfst Betragstricherl weglassen.

@MSS

JAAAAAHAAAA, ich weiß, dass das schon wieder ungenau formuliert ist. Dass es kein letztes Folgeglied gibt...aber so verstehen die Leute besser, was gemeint ist.

Und zum Beweis: Wenn eine Folge keinen Grenzwert hätte, dann würden sich in der Umgebung epsilon nicht was weiß ich wie viele Folgeglieder häufen. Also find ich, ist das schon ein Beweis dafür, dass die Folge gegen einen Grenzwert strebt.

kiki

04.11.2004, 01:15

Anaiwa

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Soll ich n nun in die ausgangleicung ensetzen und ausrechnen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{\epsilon })^2} } < \epsilon \end{eqnarray*}$

Muss ich das vorher mit der fallunterscheidung och abschätzen,d as es nie negativ wird, oder reicht das, was ich geschireben habe?

04.11.2004, 01:20

Mathespezialschüler

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Das heißt du siehst die Tatsache, dass es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt, für das $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<0,05 \end{eqnarray*}$ ist für eine reelle Zahl a, als Beweis dafür an, dass an konvergiert und der Grenzwert dann trivialerweise in (a-0,05;a+0,05)??
dann betrachte mal die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=a+(-1)^n\cdot 0,03 \end{eqnarray*}$ . Für die gilt obiges, aber sie ist nicht konvergent!

@Anaiwa
Nein, das bringt doch nichts. Ich weiß gar nicht, was du da gemacht hast, auf jeden Fall steht bei dir jetzt $\begin{eqnarray*} \epsilon<\epsilon \end{eqnarray*}$ . Das bringt nich so viel und is auch noch falsch... Du musst folgendes machen: Du musst zeigen, dass es für jedes epsilon>0 ein n0 aus N gibt, sodass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon \end{eqnarray*}$

für alle n>n0.

Du fängst jetzt so an:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben.

Und jetzt suchst du ein n0, das die obige Bedingung erfüllt Augenzwinkern

04.11.2004, 01:24

kikira

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n ist die Bezeichnung für das n-te Folgeglied..

es gibt ein 1. Folgeglied, ein 2. Folgeglied .....ein 3 millionstes Folgeglied.

Das heißt, n kann nur natürliche Zahlen annehmen, da du ja kein -1tes Folgeglied berechnen kannst.

Daher ist die Wurzel aus n automatisch eine positive natürliche Zahl. und daher multiplizierst/dividierst du die Ungleichung sowieso mit einer positiven Zahl, daher brauchst auch keine Fallunterscheidung.
Aber bevor du die Betragstriche weglässt, musst du überprüfen, ob der Ausdruck unter den Betragstrichen nicht eventuell negativ werden könnte.

Du könntest auf der Seite dazuschreiben, dass der Ausdruck, mit dem du multiplizierst > 0 ist.

lg katja

04.11.2004, 01:27

Anaiwa

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die obige gleichung erfüllt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{21}} < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist aber doch kein beweis!?

04.11.2004, 01:30

Mathespezialschüler

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@kikira
Die Wurzel is nicht zwingend natürlich

@Anaiwa
Du sollst jetzt nicht für epsilon Zahlen einsetzen, sondern epsilon als Variable so lassen und dann brauchst du ein n0 in Abhängigkeit von epsilon, sodass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n>n0! Dieses n0 musst du jetzt in Abhängigkeit von epsilon "finden", du musst also zeigen, dass es eines gibt!

04.11.2004, 01:33

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n_0 })^2 < n \end{eqnarray*}$

so einfach das einsetzen, da ich es ja für n gerechnet habe.

Aber wie ich mich kenne ist das mal wieder falsch.

04.11.2004, 01:34

Mathespezialschüler

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Ok, anders: Wann wird $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon \end{eqnarray*}$ ? Stell mal nach n um.

04.11.2004, 01:35

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\epsilon })^2 < n \end{eqnarray*}$

hat ich doch schon mal

04.11.2004, 01:37

Mathespezialschüler

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So und jetzt musst du dir ein n0 suchen, sodass diese Ungleichung für alle n>n0 gilt. Wie du das n0 wählst, ist dabei egal, Hauptsache die Ungleichung gilt für alle n>n0.

04.11.2004, 01:42

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\epsilon })^2 < n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_0=16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\epsilon })^2 < 16 \end{eqnarray*}$ |wurzel

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon } < 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4 } < \epsilon \end{eqnarray*}$

mhh so vetsteh ich das nach deiner aussage.

04.11.2004, 01:44

kikira

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das hat sie doch schon alles, MSS.
Du verwirrst sie bloß.

und bei deinem Beispiel kapier ich nicht, was der Grenzwert sein sollte, sodass da in der Folge a steht.
Wenn eine Folge keinen Grenzwert hat, dann sieht man das eh am Beweis. Kapier nicht, wieso da in der Folgenformel ein Grenzwert a eingebaut ist, für den ich beliebige reelle Zahlen einsetzen soll, wenn man doch eh sieht, dass die Folge keinen Grenzwert besitzt.

lg kiki

04.11.2004, 01:46

Anaiwa

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Also das heist für mich nun?

das ich hier stehn geblieben bin.

das habe ich raus

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{\sqrt{n} }-0|< \epsilon \end{eqnarray*}$ <--> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n} } < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n} } < \epsilon \end{eqnarray*}$ |* $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon } < \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ |()²

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\epsilon })^2 < n \end{eqnarray*}$

setzen wa 0,05 ein kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{0,05 })^2 < n \end{eqnarray*}$

n > 400

kann jedoch nichts richtiges damit anfangen, da es kein beweis ist. Und wo steht denn das ich ein beweis bruach muss doch nur nen an finden ist das nicht 400?

04.11.2004, 02:00

Mathespezialschüler

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Warum denn 0,05? Du sollst doch gar nicht mit Zahlen arbeiten, die sind jetzt völlig egal, da sie, wie du richtig gesagt hast, keinen Beweis darstellen, sondern nur Beispiele. Augenzwinkern

Da du ja wohl doch arge Probleme hast, mach ich mal n bißchen was vor:
Erstmal ne neue Funktion. Es sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to \mathbb Z \end{eqnarray*}$ die Funktion, die jeder reellen Zahl x diejenige ganze Zahl y zuordnet, für die $\begin{eqnarray*} y\leq x<y+1 \end{eqnarray*}$ . Man bezeichnet sie mit $\begin{eqnarray*} y=[x] \end{eqnarray*}$ . So ist z.B. $\begin{eqnarray*} [4,78]=4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} [\pi]=3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} [-364,54]=-365 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} [9]=9 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left[\frac{4}{7}\right]=0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} n_0:=\left[\frac{1}{\epsilon^2}\right] \end{eqnarray*}$ setzt, dann ist

$\begin{eqnarray*} n_0\leq \frac{1}{\epsilon^2}<n_0+1 \end{eqnarray*}$

also insbesondere für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ auch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon^2}<n \end{eqnarray*}$

Stell das wieder nach epsilon um. Die Ungleichung, die du dann hast, gilt für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ und du wirst sehen, dass du dann das hast, was die ganze Zeit gezeigt werden musste. Augenzwinkern

04.11.2004, 02:06

Anaiwa

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Also wieso hast du jetzt ne neue FKT genommen, um mir zu zeigen wie das mit ner andren geht? Wenn ja wo ist die FKT. mit der du die großen Zahl raus hast?

WEnn ic das Teil wieder nach E umstelle dann kommt das gleiche raus.

und wie kommst du auf die Verhälnisgleichung?

n+1 ist ja der nachfolgre klar und n0 der beginn.

Abwie kannst du die Gleichung ableiten?

04.11.2004, 02:09

Mathespezialschüler

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Die neue Funktion hab ich jetzt nur genommen, damit man ein n0 finden kann, was auch wirklich nichtnegativ ganzzahlig ist. Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} n_0\leq \frac{1}{\epsilon^2}<n_0+1 \end{eqnarray*}$ folgt direkt aus der Definition von n0 und der Funktion, guck dir die Funktion nochmal genau an!

04.11.2004, 02:16

kikira

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Wenn in ihrer Angabe steht, dass epsilon 0,05 ist, dann muss sie das ja auch wohl für epsilon einsetzen, um das Folgeglied zu bestimmen, ab dem die Differenz von an - a kleiner als 0,05 ist.

04.11.2004, 02:17

Anaiwa

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Ich weis nicht wie du auf die werde kommst. wenn ich pi einsetze komm ich net auf 3!

@ kirika bin berwirrt.

04.11.2004, 02:23

Mathespezialschüler

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In der Aufgabe steht doch, man soll beweisen, dass der grenzwert 0 is oder nich?

@Anaiwa
$\begin{eqnarray*} y=[\pi] \end{eqnarray*}$ ist diejenige ganze Zahl, für die

$\begin{eqnarray*} y\leq \pi < y+1 \end{eqnarray*}$

Das is ja wohl 3, denn

$\begin{eqnarray*} 3\leq \pi <4 \end{eqnarray*}$

und drei ist ganz. Das ist die Definition der Funktion, die ich oben angegeben hab.

04.11.2004, 02:24

kikira

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@MSS

jetzt versteh ich auch, was du mir mit dieser Folge sagen wolltest.

Nicht ICH hab für epsilon 0,05 angenommen, sondern ihr Prof will von ihr, dass sie für epsilon 0,05 annimmt.
lol...nein, ich nehm nicht automatisch an, dass epsilon immer 0,05 sein muss....hihi

lg kiki

04.11.2004, 02:26

Anaiwa

Auf diesen Beitrag antworten »

In I) gilt jeweils $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } a_n=a \end{eqnarray*}$ . Man finde den Grenzwert a und gebe N an, so dass mit dem gegebenen Wert von $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |a_n-a|< \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n > N gilt.

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\sqrt{n} }; \epsilon=0,05 \end{eqnarray*}$

das steht das aber da steht das epsilon größer 0 sein soll und nicht 0.

04.11.2004, 02:28

kikira

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Zitat:

Original von Anaiwa
Ich weis nicht wie du auf die werde kommst. wenn ich pi einsetze komm ich net auf 3!

@ kirika bin berwirrt.

hihi, ich auch....aber ich glaub, dass MSS nicht gesehen hat, dass dein Prof für epsilon = 0,05 angegeben hat.
Und er denkt anscheinend, dass ich mir die 0,05 aus den Fingerln gesogen hab und dass ich für epsilon immer 0,05 annehme.

lg kiki

Epsilon kann gar nie null sein, anaiwa...außer bei Folgen wie an = 3...hihi

muss schon so lachen.

Du, brauchst du das eigentlich für die Uni? Studierst du Mathe? Oder ist das für die Schule?

lg kiki

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion!! Danke! (MSS)

04.11.2004, 02:33

Anaiwa

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Das sin dMathe HA der Uni für Biologie studium. bin froh das ich es nur das semester habe.

Und auf diese aufgaben bekomm ich pkt und da muss ich mindestens 40% haben.

Wie lautet die aufgabe denn nun?

04.11.2004, 02:39

kikira

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so, wie ichs dir gesagt hab. die eine Lösung von dir passt, die du dann nochmal gepostet hast.

Denn dein Prof hat ja gesagt, dass du mit dem gegebenen Wert von epsilon...also mit den 0,05 begründen sollst.

Und das hast du getan.

Zuerst hast gezeigt, dass n > blablabla ist....und dann für epsilon 0,05 eingesetzt, so dass du nun weißt, dass ab dem 400. Folgeglied der Betrag der Differenz zwischen an und a kleiner 0,05 ist.

lg kiki

04.11.2004, 02:51

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{\sqrt{n} }-0|< \epsilon \end{eqnarray*}$ <--> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n} } < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n} } < \epsilon \end{eqnarray*}$ |* $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon } < \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ |()²

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\epsilon })^2 < n \end{eqnarray*}$

setzen wa 0,05 ein kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{0,05 })^2 < n \end{eqnarray*}$

n > 400

also ist das der ganze beweis, mehr muss ich nicht rechnen?

04.11.2004, 03:11

kikira

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nö...mehr brauchst nicht rechnen.

falls du einmal rauskriegen solltest: n < blabla.......dann hat die Folge keinen Grenzwert. Daher ist das mit den Betragsstrichen so wichtig!

04.11.2004, 03:17

Anaiwa

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Und wann muss ich das < zeichen umdrehen?

wenn ich nun 400 einsetze dann komm ich auf 0,05 und 0,05 < n ist ja epsilon muss ich das nicht so schreiben n<0,05?

oder heist das alle werde die größer sind als 400 als alle ab 401 erfüllen die gleichung?

04.11.2004, 03:21

kikira

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Das Zeichen dreht sich immer dann um, sobald du mit einer Minuszahl multiplizierst oder durch eine Minuszahl dividierst.

Manchmal steht unter den Betragstrichen ein Ausdruck, der eindeutig negativ bleibt, auch wenn du die Betragstriche auflöst. Muss überlegen, dann zeig ich dir noch schnell ein Beispiel. Deswegen darfst nicht einfach die Betragstricherln weglassen, sondern musst vorher abklären, ob das auch wirklich eindeutig positiv wird, wenn du die Betragstriche auflöst.....ich überleg mir ein Beispiel und poste es.

lg kiki

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