Die Ableitung an einer Stelle X0 (X-null) <-- Verstehe Aufgabe nicht :(

23.03.2007, 22:11

Daddl89

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Die Ableitung an einer Stelle X0 (X-null) <-- Verstehe Aufgabe nicht :(

Also folgendes Problem...

Schreibe am Montag eine mathearbeit zum Thema Ableitungen...
Nun bin ich ueber eine Aufgabe gestolpert und komm nicht so richtig weiter.
Wuerde mich freuen, wenn ihr mir da irgendwie helfen koenntet!

Also folgende Aufagbe:

"Die Mittellinie einer Rennstrecke wird durch y=4-(1/2)x² beschrieben. Bei spiegelglatter Fahrbahn rutscht ein Fahrzeug und landet im Punkt Y(0|6) in Strohballen. Wo hat das Fahrzeug die Strasse verlassen? "

http://img527.imageshack.us/img527/2817/matheaufgabend0.jpg
Sorry hab im Bild schon bissl rumgekrakelt Big Laugh

Big Laugh

Soweit hab ich das eigentlich verstanden, dass man quasi den Schnittpunkt der tangente (die das Auto schlittert) auf der Rarabel finden soll. Ich weiss nur nicht, wie ich das nur mit dem Schnittpunkt an der Y-Achse rausfinden soll...

Waere fuer jede Hilfe dankbar!!

23.03.2007, 23:30

tigerbine

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RE: Die Ableitung an einer Stelle X0 (X-null) <-- Verstehe Aufgabe nicht :(
Also zunächst einmal wollen wir dieses ganze schöne Geschnörkel bei der Aufgabe mal ausblenden. Das überlassen wir den Kollegen von RTL Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Außerdem finde ich Zigarettenwerbung in einem Schulbuch doch schon sehr bedenklich unglücklich

unglücklich

. (Go W***))

Also machen wir uns mal einen eigenen Plot.

$\begin{eqnarray*} f(x)=4-\frac{1}{2}\cdot x^2 = -\frac{1}{2}\cdot x^2+4 \end{eqnarray*}$

Nun bedeutet die Vorgabe des vom Wege abgekommenen Wagens, der den Pfad der Parabel in einer geraden Linie verlassen soll, dass wir die Tangente an die Parabel suchen, die

durch den Punkt Y(0/6) geht
die eine positive Steigung hat

Die zweite Voraussetzung ergibt sich eben daraus, dass man nicht rückwärts aus der Kurve fallen sollten Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Wie stellt man nun diese Tangentengleichung auf. Kennst Du die Newton Form? Sei $\begin{eqnarray*} (x_t,f(x_t)) \end{eqnarray*}$ der Berührpunkt der Tangente an die Parabel:

$\begin{eqnarray*} t(x) = f(x_t) + f'(x_t)\cdot (x-x_t) \end{eqnarray*}$

Diese soll nun durch Y gehen, also gilt:

$\begin{eqnarray*} t(0) = f(x_t) + f'(x_t)\cdot (0-x_t) = 6 \end{eqnarray*}$

Damit wir das ganze nun auf eine Variable reduzieren können, müssen wir die Ableitung f' und die Funktion f an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_t \end{eqnarray*}$ auswerten. Das ist nun mal deine Aufgabe.

Wink

Wink

23.03.2007, 23:39

n00ki3

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Die Tangente ist eine gerade .

mit der allg. Formel : $\begin{eqnarray*} -ax+6 \end{eqnarray*}$

Nun musst du mit $\begin{eqnarray*} f'(x)=6 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ herausbekomen .wobei f(x)= -1/2* x^2+4 ist

Danach f(x) und die Tangentenformel gleichsetzen .
nach x auflösen und voila smile

smile

23.03.2007, 23:42

Snowfan

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Zitat:

Original von n00ki3
Die Tangente ist eine gerade .
mit der allg. Formel : $\begin{eqnarray*} -ax+6 \end{eqnarray*}$

Mh, wenn mich nicht alles täuscht, ist die allgemeine Formel

y = m*x + b mit m als Steigung und b als y-Achsen Abschnitt.

was du geschrieben hast, ist ja schon zum Teil eingesetzt... Big Laugh

Big Laugh

LG

Wink

SF

23.03.2007, 23:59

Chris1987

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sry, aber ich verstehe eure ausführungen noch nich ganz, denn bei uns wurde letztens auch so eine ähnliche Aufgabe gestellt, die ich auch nicht lösen konnte.

Ich kann zwar den Weg erklären. aber wie man dann auf die Tangentengleichung kommt weiß ich nicht.

also die Tangente muss ja durch den Punkt $\begin{eqnarray*} P_1~(0/6) \end{eqnarray*}$ und durch den Punkt $\begin{eqnarray*} P_2~(x/f(x)) \end{eqnarray*}$ so und es gilt $\begin{eqnarray*} f'(x)=m \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ hab ich ja schonmal: $\begin{eqnarray*} y=t(x)=mx+6 \end{eqnarray*}$

und was mache ich jetzt weiter ? leite ich $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ab und setze sie als m sowie den Punkt $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} t(x) \end{eqnarray*}$ ein??

achso und die Newton Form hatten wir meiner meinung nach nie !

24.03.2007, 00:21

tigerbine

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Also, was ihr da so hinschreibt ist im Grunde das gleiche wie ich gemacht habe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Richtig, es ist in der Schule üblich, je nach Gusto, eine Gerade in der Form

$\begin{eqnarray*} y=mx +t \end{eqnarray*}$

anzugeben. Nur ist diese Schreibweise wertlos, solange man nicht das Kleingedruckte liest. Nämlich:

m: Steigung der Geraden, meist durch 2 Punkte berechnet, in der Form

$\begin{eqnarray*} m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$

t: y-Achsenabschnitt bei x=0.

Ob das nun einfacher umzusetzen ist, mit den uns vorliegenden Angaben. Naja. Ich mache mit meinem Weg weiter.
***********************************************************

$\begin{eqnarray*} f(x_t) = -\frac{1}{2}\cdot x_t^2+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x_t)=-x_t \end{eqnarray*}$

Das wird nun in die Tangentengleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} t(0) = f(x_t) + f'(x_t)\cdot (0-x_t) = 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{2}\cdot x_t^2+4) + (-x_t) \cdot (-x_t) = 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\cdot x_t^2+4+x_t^2 = 6 \end{eqnarray*}$

Das führt auf die quadr. Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot x_t^2 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_t^2=4 \end{eqnarray*}$

Und die beiden Lösungskandidaten:

$\begin{eqnarray*} x_{t1}=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{t2}=+2 \end{eqnarray*}$

Nach Gliederungspunkt 2 ist klar, dass die gesuchte Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} x_{t1}=-2 \end{eqnarray*}$

Damit lautet die Tangentengleichung:

$\begin{eqnarray*} t(x) =f(-2) + f'(-2)\cdot(x-(-2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(x) =2 + 2\cdot(x+2) \end{eqnarray*}$

Was wir in die für Euch vertrautere Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} t(x) = 2\cdot x + 6 \end{eqnarray*}$

überführen können. Fertig.

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24.03.2007, 01:00

Bert

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Ein bißchen viel gerechnet. Ich habe einfach genommen:

gegeben
f(x)=4-1/2*x^2
A (0,6)

Suche:
Tangente t durch zwei Punkte:
1) A (0,6)
2) Schnittpunkt B=f*f'

f'(x) berechnen
B berechnen; zwei Lösungen, nur (-2,2) ist passend

t aus A,B => 4*x-2*y=-12
t: y = 2*x+6

fertig, Ergebnis gleich, bloß VIEEEEEEL weniger gerechnet.

smile

smile

24.03.2007, 01:02

derkoch

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Kleine Ergänzung:

Tangentengleichung

$\begin{eqnarray*} y_t= mx+6 \end{eqnarray*}$

mit der Kurve zum Schnitt bringenund schauen wann es nur einen "Berührpunkt" gibt, d.h. schauen wann die Diskriminate Null wird führt auch zum Ziel!

24.03.2007, 01:06

tigerbine

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@ Bert,

wenn Du deine Schritte ausschreiben würdest, und auch begründest, dann bist Du nicht kürzer. unglücklich

unglücklich

@ koch,

auch ein netter Ansatz. Der kommt vor allem dann gut, wenn noch keine Ableitungen behandelt worden sind Freude

Freude

Drehen wir doch mal paar Geraden um Y Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.03.2007, 10:47

Daddl89

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RE: Die Ableitung an einer Stelle X0 (X-null) <-- Verstehe Aufgabe nicht :(
Wow, danke fuer eure Muehe! Super GEholfen schonmal...

Danke! Freude

Freude

Freude

Freude

24.03.2007, 10:51

Bert

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RE: Die Ableitung an einer Stelle X0 (X-null) <-- Verstehe Aufgabe nicht :(

Zitat:

Original von Daddl89
Wow, danke fuer eure Muehe! Super GEholfen schonmal...

Danke! Freude

Freude

Freude

Freude

Hinweis an Daddl89:
freue dich nicht zu früh! Die Tangente ist der Schlüssel zur Lösung deiner Aufgabe, aber NICHT das Endergebnis. Die Aufgabe fragt nach einem Punkt: " Wo hat das Fahrzeug die Strasse verlassen?"
Das ist der Schnittpunkt der Tangente, die wir hier berechnet haben, und der äußeren Parabel (also NICHT der Bahnkurve).

Der von mir berechnete Punkt B (-2,2) ist der Punkt, wann das Auto die Bahnkurve verläßt (Übergang von Parabel zu Gerade), aber nicht, wann es die Straße verläßt! Aber das kriegst du schon hin, oder?

24.03.2007, 11:35

Chris1987

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kannst du vielleicht mal die "newton-Form" erklären, finde darüber nix und habe sich auch noch nie gehört, macht sich dann schlecht damit zu rechnen

Edit: Den Weg mit der Disrkimante finde ich gut und recht einfach, aber wahrscheinlich auch bloß bei solch einfachen Funktionen Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.03.2007, 12:53

tigerbine

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@Chris1987:

Also den namen "Newton -Form" habe ich deswegen gewählt. Dabei handelt es sich um ein iteratives Verfahren zur Nullstellenbestimmung. Dabei werden immer wieder Tangenten an eine Funktion gelegt.

Vielleicht wirst Du unter dem Stichwort Taylor-Polynom eher fündig. Dabei geht es um Approximation von Funktionen, entwickelt in einem Punkt, und das Taylor Polynom vom Grad 1 ist dann eben eine Tangente in diesem Punkt.

Der Ansatz vom Koch ist speziell auf die quadratische Funktion zugeschnitten.

Zitat:

Bert
Der von mir berechnete Punkt B (-2,2) ist der Punkt, wann das Auto die Bahnkurve verläßt (Übergang von Parabel zu Gerade), aber nicht, wann es die Straße verläßt! Aber das kriegst du schon hin, oder?

Wobei ich das im Moment als nicht ganz so unproblematisch sehe. Welche Annahmen triffst Du über die große Parabel? Es lassen sich aus der Skizze nicht direkt charakt. Punkte entnehmen. Oder ich sehe sie nicht.

Ich müßte den Umweg über die Kleine Parabel gehen.

24.03.2007, 15:35

Daddl89

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Mh...so genau wuesst ich jetzt nicht, wie ich das loesen sollte...

Die aussenlinie der Fahrbahn muesste ja 5-(1/2)x^2 sein, oder?

Aber ich weiss nich, wie ich das da jetz noch einbauen soll...

Den rest hab ich aber schonmal verstanden (danke an alle, vorallem an tigerbirne)

greetz

24.03.2007, 15:40

Daddl89

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Mh naja....so wirklich jann man das eigentlich nicht sagen...

Vielleicht ham sich die Screiber der Aufgabe auch vertan und wollten eigentlich nur den punkt wissen, an dem das auto die ideallinie verlaesst...

24.03.2007, 15:44

Bert

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Zitat:

Original von tigerbine

Wobei ich das im Moment als nicht ganz so unproblematisch sehe. Welche Annahmen triffst Du über die große Parabel? Es lassen sich aus der Skizze nicht direkt charakt. Punkte entnehmen. Oder ich sehe sie nicht.

Ich müßte den Umweg über die Kleine Parabel gehen.

Benennen wir die f(x) Parabel1 und meinen Punkt B zu B1.
Ich sehe da eine Parabel2 (f2(x)) durch drei Punkte. (zwei Nullstellen [x3; x4], ein Scheitel [S2]); Schnittpunkt mit f2*t => B2 (Punkt, an dem das Auto die Straße verläßt und den Rasen berührt).

24.03.2007, 15:48

tigerbine

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@ Bert:

Eben, die Nullstellen sehe ich nicht. Die sehe ich nur bei der kleinen Parabel Wink

Wink

24.03.2007, 15:59

Bert

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Zitat:

Original von tigerbine
@ Bert:

Eben, die Nullstellen sehe ich nicht. Die sehe ich nur bei der kleinen Parabel Wink

Wink

Ich verlasse mich auf Symmetrie... Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.03.2007, 16:02

tigerbine

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Zu was? (Ja y-Achse schon klar. Aber man sieht doch nur die Nullstellen -3,3 der kleinen Parabel. Auch den y-Wert des Scheitels kennt man nicht.

24.03.2007, 16:22

Bert

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Zitat:

Original von tigerbine
Zu was? (Ja y-Achse schon klar. Aber man sieht doch nur die Nullstellen -3,3 der kleinen Parabel. Auch den y-Wert des Scheitels kennt man nicht.

Du meinst sicher Nullstellen -2,2.
Ich mache die Annahme, daß die Bahnkurve (unsere Parabel1, definiert durch die Gleichung im Bild) mittig verläuft.

24.03.2007, 16:29

tigerbine

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Ich mache auch diese Annahme auch. Aber was nützt das? Gib doch mal deine äußere Parabel an.

24.03.2007, 18:14

Chris1987

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ja ok, das newton-verfahren hatten wir natürlich schon, aber ich sehe den Bezug zu der Aufgabe leider nicht und wie man die hier andwenden kann, den link mit der tayler-formel versteh ich leider auch nicht .. unglücklich

unglücklich

naja nehm ich lieber das verfahren mit der diskrimante Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.03.2007, 19:43

tigerbine

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Dann mach das. Der Bezug zur Aufgabe ist, wie man eine Tangente in einem Punkt formuliert. Wie das dann im Detail für diese Aufgabe funktioniert, wo ja der Punkt gesucht ist, steht weiter vorne im Thread.

Ansonsten gilt eben, dass man sie sich so "basteln" kann. Euer $\begin{eqnarray*} y =mx +t \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann mit:

Gehe auf den Tangentialpunkt, d.h. $\begin{eqnarray*} t(x_t)=f(x_t) \end{eqnarray*}$
Wähle als Steigung der Tangenten die Ableitung der Funktion im Tangentialpunkt $\begin{eqnarray*} f'(x_t) \end{eqnarray*}$

Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} t(x) = f(x_t) + f'(x_t) \cdot (x-x_t) = f'(x_t)\cdot x + [f(x_t)-f'(x_t) \cdot x_t)] \end{eqnarray*}$

Man sieht daraus leicht ein, dass die geforderten Bedingungen an die gerade erfüllt sind:

$\begin{eqnarray*} t(x_t) = f(x_t) + f'(x_t)\cdot (x_t-x_t) = f(x_t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m = f'(x_t) \end{eqnarray*}$

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