Binomialkoeffizienten

24.03.2007, 10:31	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizienten Guten Morgen, Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} \frac{ \binom{r-1}{k-1} \binom{N-r}{n-k} }{ \binom{N-1}{n-1}} =1 \end{eqnarray}$ ? hab schon versucht das umzuformen, aber ich kann irgendwie nicht wirklich etwas kürzen... $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n} \frac{ (r-1)! (N-r)! (n-1)! (N-n)!}{(k-1)! (r-k)! (n-k)! (N-r-n+k)! (N-1)!} \end{eqnarray}$ gibt es dabei einen trick?? Viele Grüße, kingskid
24.03.2007, 10:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss es unbedingt auf arithmetischem Weg sein? Ganz offenbar geht es hier ja um die hypergeometrische Verteilung, und diese Summenformel kann man auf diesem Weg rein kombinatorisch erklären, ohne jede Rechnung.
24.03.2007, 12:09	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, schade, hatte gehofft man könnte das leichter umformen. aber wie würdest du das kombinatorisch erklären??
24.03.2007, 12:19	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erkläre es mal "gegenständlich": Nehmen wir eine Urne mit $\begin{eqnarray} N-1 \end{eqnarray}$ Kugeln, unterteilt in $\begin{eqnarray} r-1 \end{eqnarray}$ schwarze und $\begin{eqnarray} N-r \end{eqnarray}$ weiße Kugeln, alle seien voneinander unterscheidbar (nicht nur durch die Farbe). Jetzt ziehen wir genau $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ Kugeln aus dieser Urne, ohne Zurücklegen. Dann gibt es $\begin{eqnarray} \binom{N-1}{n-1} \end{eqnarray}$ Ziehungsmöglichkeiten. Diese Ziehungsmöglichkeiten können wir in genau $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Fälle unterteilen: Nämlich bezogen auf die Anzahl $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ der schwarzen Kugeln in der Auswahl, also gibt es da die Fälle $\begin{eqnarray} s=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray}$ . Die Anzahl der Ziehungsmöglichkeiten für ein festes $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ ergibt sich nun offenbar durch getrennte Auwahl der schwarzen Kugeln ( $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} r-1 \end{eqnarray}$ ) und der weißen Kugeln ( $\begin{eqnarray} n-1-s \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} N-r \end{eqnarray}$ ), macht durch Kreuzauswahl $\begin{eqnarray} \binom{r-1}{s}\cdot\binom{N-r}{n-1-s} \end{eqnarray}$ . Jetzt nur noch über $\begin{eqnarray} s=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray}$ summieren und schon steht deine Summe da - wenn du noch die Indexverschiebung $\begin{eqnarray} k=s+1 \end{eqnarray}$ durchführst. Es geht wohl auch durch Termumformung, ist aber viel häßlicher, zumal Umformungen wie dein $\begin{eqnarray} \binom{r-1}{k-1} = \frac{(r-1)!}{(k-1)!(r-k)!} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} r<k \end{eqnarray}$ (was im Fall $\begin{eqnarray} r<n \end{eqnarray}$ durchaus auftritt!!!) einfach falsch sind.
24.03.2007, 12:40	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, das ist cool, vielen dank für deine Erklärung, das hätte ich nicht "gesehen"... d.h. man müsste auch noch fallunterscheidungen durchführen um die terme so umzuformen? dann lass ich das lieber... ;-)

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