Grenzwert begründung

04.11.2004, 02:35

Anaiwa

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Grenzwert begründung

Verwenden sie die formale Def. des Grenzwertes. um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } a_n=a \end{eqnarray*}$ zu begründen, d.H. zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gebe man N an, so dass [/latex] $\begin{eqnarray*} |a_n-a|< \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n > N gilt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \frac{1}{n^2+1}=0 \end{eqnarray*}$

Dann sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig

Dann $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n^2+1}-0|=\frac{1}{n^2+1} < \epsilon =\sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1} < n \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n > \sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1} \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \frac{n}{n+1}=1 \end{eqnarray*}$

Dann sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig

Dann $\begin{eqnarray*} |\frac{n}{n+1}-1|=\frac{n-n+1}{n+1}=\frac{1}{n+1} < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\epsilon}-1) < n \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n > (\frac{1}{\epsilon}-1) \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \frac{1}{n^2}=0 \end{eqnarray*}$

Dann sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig

Dann $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n^2}-0|=\frac{1}{n^2} < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{\epsilon}}< n \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n > \sqrt{\frac{1}{\epsilon}} \end{eqnarray*}$

Stimmt?

04.11.2004, 02:46

kikira

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RE: Grenzwert begründung
Du...epsilon ist nicht der Grenzwert.......den Grenzwert bezeichnet man mit a.....

daher musst bei deiner 1. Folge a = 0 schreiben......nicht epsilon = 0

04.11.2004, 02:50

Anaiwa

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Ups hab was ganz falsches geschrieben!! hast recht aber nun stimmt es hab nur was kopiert von dem andren thread war zu faul nun muss es aber stimm, da wir das so ähnlich gerechnet haben

04.11.2004, 02:54

kikira

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RE: Grenzwert begründung

Zitat:

Original von Anaiwa
Verwenden sie die formale Def. des Grenzwertes. um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } a_n=a \end{eqnarray*}$ zu begründen, d.H. zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gebe man N an, so dass [/latex] $\begin{eqnarray*} |a_n-a|< \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n > N gilt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \frac{1}{n^2+1}=0 \end{eqnarray*}$

Dann sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig

Dann $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n^2+1}-0|=\frac{1}{n^2+1} < \epsilon =\sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1} < n \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n > \sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1} \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \frac{n}{n+1}=1 \end{eqnarray*}$

Dann sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig

Dann $\begin{eqnarray*} |\frac{n}{n+1}-1|=\frac{n-n+1}{n+1}=\frac{1}{n+1} < \epsilon \end{eqnarray*}$

du hast da einen Fehler.....nämlich n - (n + 1) = -1 und nicht + 1..und du darfst auch solang die Betragsstriche nicht weglassen, solang du nicht abklären kannst, dass durch die Betragsstricherln der Ausdruck eindeutig positiv wird.
erst wenn du stehen hast: | -1/(n+1) | dann kannst du sagen..der Zähler ist negativ...der Nenner könnte niemals negativ werden, weil n eine positive ganze Zahl sein muss. Und erst jetzt darfst du die Betragstriche auflösen, indem du sagst, durch die Betragstriche wird das -1 zu +1...und dann kannst das 1. Mal ohne Betragstriche hinschreiben: 1/(n+1)

edit: Zitat verbessert, schreibe bitte nicht ins Zitat rein! (MSS)

04.11.2004, 16:03

Mathespezialschüler

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RE: Grenzwert begründung
@kikira
Bitte verbessere deinen Beitrag, du darfst da nicht dirket in das Zitat mit reinposten, ich möcht da lieber nichts verändern ...

@Anaiwa

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n^2+1}-0|=\frac{1}{n^2+1} < \epsilon =\sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1} < n \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf? $\begin{eqnarray*} \epsilon =\sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1} \end{eqnarray*}$ gilt sicherlich nicht für alle epsilon.

Und dann hast du immer hingeschrieben:

A gilt für A, wobei A ne Aussage ist. Das stimmt natürlich sowieso. Ein Beispiel:

Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{\epsilon}}< n \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n > \sqrt{\frac{1}{\epsilon}} \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlich wolltest du damit das N erreichen, dieses musst du aber erstmal finden! Denn sicher sein, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{\epsilon}} \end{eqnarray*}$ natürlich ist, kannst du dir nicht!!

04.11.2004, 17:02

Anaiwa

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Verwenden sie die formale Def. des Grenzwertes. um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } a_n=a \end{eqnarray*}$ zu begründen, d.H. zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gebe man N an, so dass [/latex] $\begin{eqnarray*} |a_n-a|< \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n > N gilt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \frac{1}{n^2+1}=0 \end{eqnarray*}$

Dann sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig

Dann $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n^2+1}-0|=\frac{1}{n^2+1} < \epsilon =\sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1} < n \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n > \sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1} \end{eqnarray*}$

Ich habe das umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2+1} < \epsilon \end{eqnarray*}$ |* $\begin{eqnarray*} n^2+1 \end{eqnarray*}$ ; / $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \sqrt{} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1} < n \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ sein soll wird es immer positiv!

und was anderes wollte er nicht von uns, meinte er in der forlesung: "Genau das verlange ich auch von euch, in eines der Aufgaben!"

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06.11.2004, 10:08

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1} < n \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ sein soll wird es immer positiv!

Wenn du $\begin{eqnarray*} \epsilon=2 \end{eqnarray*}$ einsetzt, ist das unter der Wurzel negativ und die Wurzel nicht definiert!
Wie kommst du denn eigentlich auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1} \end{eqnarray*}$ ?? Woher nimmst du das?

Und wie schonmal gesagt, das:

$\begin{eqnarray*} \epsilon =\sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1} \end{eqnarray*}$

stimmt auch nicht für alle epsilon (es stimmt nur für höchstens drei!)!!

06.11.2004, 14:32

Anaiwa

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Verwenden sie die formale Def. des Grenzwertes. um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } a_n=a \end{eqnarray*}$ zu begründen, d.H. zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gebe man N an, so dass $\begin{eqnarray*} |a_n-a|< \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n > N gilt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \frac{1}{n^2+1}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \frac{n}{n+1}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \frac{1}{n^2}=0 \end{eqnarray*}$

wie wills du denn ohne zahlen das beweisen, da steht nichts von beweisen nur begründen. und unser pfroff hat adas auch so in der vorleseung gemacht. und sagte das will ich auch von euch sehn in einer der aufgaben.

Das ist die!

Dann sag mir mal anhan eines andren Besipels wie du das machen würdest?

06.11.2004, 22:55

Mathespezialschüler

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Ok, nehmen wir die letzte Folge, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Es soll gelten

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{n^2}-0\right|<\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N:=\left[\sqrt{\frac{1}{e}}\right]+1 \end{eqnarray*}$

Das [...] bezeichnet die Gaußklammerfunktion, die ich in dem anderen Thread schonm erklärt hatte und jetzt nochmal erklären werde. N ist also diejenige ganze Zahl, für die

$\begin{eqnarray*} N\leq \sqrt{\frac{1}{\epsilon}}+1<N+1 \end{eqnarray*}$

oder auch

$\begin{eqnarray*} N-1\leq \sqrt{\frac{1}{\epsilon}}<N \end{eqnarray*}$

Jetzt gucken wir uns mal an, was für die n>N passiert. Aus $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<\frac{1}{N} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2}<\frac{1}{N^2} \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{\epsilon}}<N \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{N^2}<\epsilon \end{eqnarray*}$ und somit für alle $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{n^2}-0\right|=\frac{1}{n^2}<\frac{1}{N^2}<\epsilon \end{eqnarray*}$

Fertig.

07.11.2004, 01:37

Anaiwa

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Mhh kann leider damit nichts anfangen. Hatten die Gausklammer nicht.

Woher nimmst du die +1 etwa für den Nachfolger?

07.11.2004, 19:34

Mathespezialschüler

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Die Gaußklammer ist ganz einfach!! N+1 ist der Nachfolger, ja. Guck mal: Wenn du eine Zahl x hast, dann heißt diejeinge ganze Zahl z, für die

$\begin{eqnarray*} z\leq x<z+1 \end{eqnarray*}$

Gaußklammer von x, also [x]. Z.B. die Zahl x=3,7591. z:=[3,7591] ist also diejenige ganze Zahl z, für die

$\begin{eqnarray*} z\leq 3,7591<z+1 \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich z=3. Bestimme du mal für folgende x das z=[x]

7,38
-56,02
-3,998
0

Du wirst sehen, is ganz einfach! Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2004, 19:41

Anaiwa

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7,38 7 und 8
-56,02 -56 und -55
-3,998 -3 und -2
0 -1 und 1

ja aber was soll das nun mit der aufgeba zu tun haben, ich habe immern och kein n gefunden. so wie ich das gemacht habe, hatte ich ein kleines n und das wollter der proff aber du hast recht, das mit der -0,5 geht natürlich nicht, dann habe ich halt nur falsch umgestellt. dann ist es halt für jeden n^2 ne zahl 1/epsilon-1 ?

Weil sorichtig vestehe ich deine shculßfolgerung nicht.

07.11.2004, 21:26

Mathespezialschüler

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Du hast jetzt immer zwei Zahlen angegeben. Du solltest aber nur eine angeben, nämlich die kleinere. Das is die Gaußklammer von x, denn es ist ja eine Funktion, darf also jedem x nur ein z zuordnen.
7,38 richtig, somit wäre die gesuchte Zahl 7
-56,02 falsch. Bei dir wäre also $\begin{eqnarray*} -56\leq -56,02<-55 \end{eqnarray*}$ und insbesondere $\begin{eqnarray*} -56\leq -56,02 \end{eqnarray*}$ . Bist du dir da sicher?
-3,998 falsch. Bei dir wäre auch hier $\begin{eqnarray*} -3\leq -3,998 \end{eqnarray*}$ . Sicher?
0 falsch. Es soll eine Zahl z geben mit $\begin{eqnarray*} z\leq 0<z+1 \end{eqnarray*}$ , bei dir soll wohl z=-1 und z+1=1 sein, das geht gar nicht, denn z+1=0, wenn z=-1!!!

Das ganze dient dem, dass du verstehst, was ich da gemacht hab mit der Gaußklammer und warum.
Und zu dem anderen: Was verstehst du an meinen Ausführungen nicht?

07.11.2004, 21:32

Anaiwa

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Warum hast du N genommen ich sollte ein beliebgs n finden das die gleichung erfüllt. und wie ich schon sagte das der pfoff das nur will. Das denke ich .

Warum rechbest du mit N?? gesucht ist n?

und bei der ersten und zweiten kann ich doch keine gausklammer anwnden weil doch unter der wurzel ne negative zahl kommt siehe dein anliegen was du mir geschildet hast mit der 2.

ich ich wüste auch nicht wie ich das da machen sollte ich habe das also falsch ungestellt? oder wie? bei 1 und 2

07.11.2004, 21:55

Mathespezialschüler

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Ich habe einfach das beliebige n mit N bezeichnet, das ist doch völlig egal, wie ich es bezeichne.
Es kann keine negative Zahl unter der Wurzel rauskommen!! Da hast du mMn falsch umgestellt, zeig mal deine Umformung!

07.11.2004, 21:58

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \frac{1}{n^2+1}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n^2+1}| < \epsilon \end{eqnarray*}$ so und wenn ich das umstelle erstmal nach $\begin{eqnarray*} n^2+1 \end{eqnarray*}$ komtm das raus

$\begin{eqnarray*} | \frac{1}{\epsilon}| < n^2+1 \end{eqnarray*}$ so und wenn ich nun weiter umstelle kommt das wieder mit der wurzel negativen zahl!

was soll ich diener meinung nach machen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} < n^2+1 \end{eqnarray*}$

07.11.2004, 22:13

Mathespezialschüler

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So jetzt stellst du das um:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon}-1 < n^2 \end{eqnarray*}$

Wenn die linke Seite <0 oder =0 ist, dann gilt die Ungleichung sowieso immer. Frage an dich: Wieso?
Wenn die linke Seite >0 ist, dann kannst du die Wurzel ziehen, ein bestimmtes n definieren und die Behauptung folgern.

07.11.2004, 22:41

Anaiwa

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Also denke mal hast ein nicht vergessen oder?

Aus positiven zahlen kann man die Wurzel ziehn und aus negativen zahlen halt nicht.

für die zwiete aufageb stimmt aber die gleichung doch es gibt doch keine wurzel. und die letzte aufgabe habe ich doch auch richtig, weil die zahl immer possitiv ist. also war nur die erste falsch.

$\begin{eqnarray*} n > (\frac{1}{\epsilon}-1) \end{eqnarray*}$

also kann ich nur für epsilon die gröér 1 sind ein n definieren? wenn sie kleiner als eins sind, dann kann ich keins defiiniernen.

oder? aber laut der aufgabe soll ich für e > 0 denfinieren, also hat die dann kein n für diese aufgaben stellung halt nur 1?

07.11.2004, 22:52

Mathespezialschüler

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Ich hab kein "nicht" vergessen!
Wenn e>=1 ist, dann ist sowieso immer

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon}-1\leq 0<n^2 \end{eqnarray*}$

Denn n² ist immer größer 0! Für alle e>=1 ist also das n, was du finden musst einfach wählen wie du willst, z.B. n=1!
Für e<1 musst du dann eins in Abhängigkeit von e definieren...

07.11.2004, 23:03

Anaiwa

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Also muss ich schrieben:

für e >=1 ist n beliebig. Für n^2>1/e-1 gilt, n ist abhängig von epsilon?

also gibs nur darum.

Dann sind meine gleichung der anderen beiden Richtig umgestllt und formuliert?

07.11.2004, 23:08

Mathespezialschüler

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Du musst für das e<1, wo also n abhängig von e ist, n aber auch noch explizit angeben!
Bei den anderen beiden is zwar alles richtig, auch wenn es beim zweiten so aussieht, als hättest du da nen kleinen Denkfehler, aber du musst jeweils noch explizit ein n angeben und darfst nicht einfach schreiben für n>...!!!

07.11.2004, 23:24

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \frac{1}{n^2+1}=0 \end{eqnarray*}$

Dann sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig

Dann $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n^2+1}-0|=\frac{1}{n^2+1} < \epsilon \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon}-1 < n^2 \end{eqnarray*}$

d.h. für $\begin{eqnarray*} \epsilon > 1 \end{eqnarray*}$ gilt diese ungleichung:

in abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \epsilon \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon}-1 < n^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1}-1 < n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < n \end{eqnarray*}$

meinst du das so?

08.11.2004, 09:02

Mathespezialschüler

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Nein!! Du musst ein n in Abhängigkeit von e angeben, hast du das jetzt gemacht? Nein, hast du nicht! Du musst das n angeben in der Form

$\begin{eqnarray*} n=... \end{eqnarray*}$

Bei dem ... muss irgendwas mit e hin!! Und für alle n, die größer als dieses n sind, muss dann die Ungleichung gelten. Das n gibst du am besten mit der Gaußklammer an.

08.11.2004, 15:53

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon}-1 = n^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1} = n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon \leq 1 \end{eqnarray*}$

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