Moivresche Formel

04.11.2004, 11:59	kospe	Auf diesen Beitrag antworten »
Moivresche Formel Hi, ich soll die Moivresche Formel $\begin{eqnarray} (cos(x)+isin(x))^n=cos(nx)+isin(nx) \end{eqnarray}$ benutzen, um nur mit Hilfe von $\begin{eqnarray} sin(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} cos(x) \end{eqnarray}$ z. B. so was wie $\begin{eqnarray} cos(3x) \end{eqnarray*}$ auszudrücken. Wie soll das gehen? Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
04.11.2004, 13:04	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Setze n=3, multipliziere links mit der binomischen Formel aus und vergleiche dann Real- und Imaginärteil.
04.11.2004, 14:59	Kospe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ausmultipliziert ergibt das $\begin{eqnarray} cos(x)^3-3cos(x)sin(x)^2 + i(cos(x)^2sin(x)-sin(x)^3) \end{eqnarray}$ So, wie meinst du das jetzt mit dem vergleichen? Bis jetzt hab ich ja nur cos(3x)+isin(3x) anders ausgedrückt. Kann ich jetzt den Imaginärteil einfach weglassen? Der ist ja schließlich null, wenn ich nur cos(3x) darstellen will.
04.11.2004, 15:15	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Klammer muss vor den 1. Summanden noch eine 3, dann stimmt es. Wie du sicher weißt, gilt, dass 2 komplexe Zahlen genau dann übereinstimmen, wenn ihr Real- und ihr Imaginärteil jeweils gleich sind. Der Teil, der kein i enthält, also $\begin{eqnarray} \cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x) \end{eqnarray}$ , muss damit genau $\begin{eqnarray} \cos(3x) \end{eqnarray}$ sein und der Teil, der in der Klammer steht, muss demnach gerade $\begin{eqnarray} \sin(3x) \end{eqnarray}$ sein. Jetzt alles klar?
04.11.2004, 15:21	Kospe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das klingt einleuchtend. Danke!

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