abgabetermin rückt näher - Seite 2

11.11.2004, 13:38

der neue

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bis hier hin ok..

und ja ich war auch mal in der schule..

das letzte mal vor 10 jahren.

11.11.2004, 13:43

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ok, jetzt vergleichen wir den Ausdruck x² - (p + q) * x + p*q mit dem Ausdruck x² - 10x + 9 .
Das sieht einigermaßen ähnlich aus, du mußt nur Zahlen p und q finden, so dass p + q = 10 und p*q = 9 ist.

Bitte mal probieren.

Natürlich gibt es auch eine allgemeine Formel für die Bestimmung der Nullstellen.

Für eine quadratische Gleichung der Form:
x² + p * x + q = 0 (das sind jetzt andere p und q als oben)
sind die Nullstellen:
$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \end{eqnarray*}$
Das geht natürlich nur, wenn der Ausdruck unter Wurzel nicht negativ ist.

12.11.2004, 08:02

der neue

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also für p und q kann ich mir eine zahl ausdenken?

12.11.2004, 08:42

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ja, aber mit der Bedingung, dass:
p + q = 10 und p*q = 9
p und q sind dann die Nullstellen.

12.11.2004, 08:52

der neue

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wie ich das in eine formel bringen soll weiß ich zwar nicht, aber wenn ich ein wenig überlege komme ich zu dem entschluß:

das die nullstellen 1 und 9 sind.

12.11.2004, 09:29

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richtig, diese Methode ist auch nur für "einfache" quadratische Gleichungen geeignet, ist dafür relativ schnell, wenn man mit vielleicht 3 Versuchen auskommt.
Übrigens: in jedem Fall immer die Probe machen!

Ansonsten muß man die Nullstellen mit der Formel ausrechnen, siehe 2 Beiträge höher die Formel mit dem Wurzelausdruck.
Kannst es ja zum Spaß mal ausprobieren.

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12.11.2004, 09:45

der neue

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ich nehme an du meinst die:

$\begin{eqnarray*} x{1/2}= - \frac{p}{2} \pm\sqrt\frac{p^2}{4}-q \end{eqnarray*}$

wenn ich das in meinem taschenrechner eingebe kommt immer error.

12.11.2004, 09:51

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erstens heißt die Formel:
$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \end{eqnarray*}$
Die Wurzel geht über das "-q"

zweitens beziehen sich p und q auf eine quadratische Gleichung in der Form:
x² + p * x + q = 0 (Das sind nicht die p und q aus der anderen Methode.)
Was mußt du also für p und q einsetzen?

12.11.2004, 10:43

der neue

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ja 9 und 1.

12.11.2004, 11:36

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die Antwort habe ich jetzt nicht verstanden.
Die ursprüngliche Gleichung lautete:
x² - 10x + 9 = 0
Wie lauten demnach p und q, wenn man die "Wurzelformel" verwendet?

12.11.2004, 12:04

der neue

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p ist 1 und q ist 9

d.h.

-1/2 plus/minus wurzel aus 1^2 /4 -9

12.11.2004, 12:14

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nein!!! Tut mit leid, dass vielleicht eine kleine Verwirrung enstanden ist.
Ich hatte versucht, 2 Methoden zur Lösung darzustellen.
Die 1. ist, die Gleichung in dieser Form zu schreiben:
x² - (p + q) * x + p*q = 0
und das mit dem Ausdruck x² - 10x + 9 zu vergleichen und die passenden p und q zu finden. Also p + q = 10 und p * q = 9 zu lösen.

Die 2. ist, die Gleichung x² - 10x + 9 = 0 in die Form x² + p * x + q = 0 zu bringen (was ja schon der Fall ist), vergleichen, die Werte p und q zu bestimmen und mit diesen Werten in die "Wurzelformel" zu gehen.
Tipp von mir: p = -10, q = ...

12.11.2004, 12:44

der neue

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q vielleicht 10?

12.11.2004, 12:50

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knapp daneben, ich schreibs mal untereinander:
x² - 10 * x + 9 = 0
x² + p * x + q = 0
Also p = -10, q = ...

12.11.2004, 12:50

der neue

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9?

12.11.2004, 12:56

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genau!!! und jetzt mit p = -10 und q = 9 in die Wurzelformel gehen.
Was bekommst du raus?

12.11.2004, 12:59

der neue

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tja laß mal überlegen.

einmal 17

und

einmal -33?

12.11.2004, 13:02

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wie denn das??? schreib mal auf, was du rechnest!

12.11.2004, 13:07

der neue

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für x1:

-10/2 + 10^2/4-9 daraus die wurzel

für x2:

-10/2 - 10^2/4-9 daraus die wurzel

12.11.2004, 13:12

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da kommt aber nicht 17 oder -33 raus.
Wenn du genau hinschaust, steht in der Wurzelformel als erstes: -p / 2. Also Vorsicht beim Vorzeichen!!!

12.11.2004, 13:18

der neue

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ich tippe es so in den rechner ein:

oh dann kommt für x1=9

x2= 1

12.11.2004, 13:20

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hurra!!! die Lösungen hatten wir auch mit der 1. Methode.
Nun, das sind jetzt die Eigenwerte. Dazu braucht man aber auch die passenden Eigenvektoren. Oder ist das jetzt nicht mehr das Thema?

12.11.2004, 13:27

der neue

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doch das ist noch thema.

aber da ich hoffnungslos verloren bin habe ich auch hier wieder keinen ansatz.

12.11.2004, 14:31

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Also wir erinnern uns. Es ging um die Matrix
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 8 & 7\\ 1 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Eine Zahl lambda heißt Eigenwert, wenn es Vektoren x ungleich 0 gibt, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} 1) A * x = \lambda * x \end{eqnarray*}$
Dabei ist - allgemein gesprochen - A eine (n x n)-Matrix und x ein n-Vektor.

Jetzt brauchen wir noch die Einheitsmatrix I, also die Matrix mit 1-sen auf der Diagonale, Beispiel:
$\begin{eqnarray*} I = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann kann man die Gleichung 1) auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} A * x = \lambda * I * x \end{eqnarray*}$
oder auch:
$\begin{eqnarray*} A * x - \lambda * I * x = 0 \end{eqnarray*}$
oder auch:
$\begin{eqnarray*} (A - \lambda * I) * x = 0 \end{eqnarray*}$

Der letzte Schritt war die Anwendung des leidigen Distributivgesetzes auf Matrizen.
Anmerkung: 0 ist hier nicht einfach die Zahl Null, sondern die Null-Matrix.

Aus der Determinante von $\begin{eqnarray*} A - \lambda * I \end{eqnarray*}$
hatten wir das charakteristische Polynom erhalten.

Das nochmal konkret für unsere Beispiel-Matrix A (in die letzte Gleichung eingesetzt):
$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 8 & 7\\ 1 & 2\end{pmatrix} - \lambda * \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}) * x = 0 \end{eqnarray*}$
oder auch:
$\begin{eqnarray*} 2) \begin{pmatrix} 8 - \lambda & 7\\ 1 & 2 - \lambda\end{pmatrix} * x = 0 \end{eqnarray*}$
wobei x ein Vektor ist, also: x = (x1, x2)

Das charakteristische Polynom ist:
$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 10 * \lambda + 9 \end{eqnarray*}$
Davon haben wir unter großen Mühen die Nullstellen 1 und 9 ermittelt.

Jetzt kann man die 1. Nullstelle, also lambda = 1 in die Gleichung 2) einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 & 7\\ 1 & 1\end{pmatrix} * x = 0 \end{eqnarray*}$

Dies ist ein lineares Gleichungssystem, das es nun zu lösen gilt.
Wie siehst damit aus? Aber bitte nicht sagen, dass x = (0, 0) eine Lösung ist.
Das war auch vorher schon klar. Viel Spaß!

PS: verabschiede mich bis Sonntag-Nachmittag

14.11.2004, 13:01

der neue

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ich wäre dir sehr dankbar wenn du nochmal alles von anfang an zusammen fassen würdest..ich verliere den überblick.

14.11.2004, 13:03

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ich dachte, das hätte ich mit dem Beitrag davor getan.
welchen Schritt soll ich ausführlicher erklären?

14.11.2004, 13:12

der neue

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ich meine von anfang an.

und mit zahlen...

eben für blöde...

14.11.2004, 14:18

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also der anfang war für mich die Aufgabe, eine Zahl lambda und Vektoren x zu finden, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 8 & 7\\ 1 & 2\end{pmatrix} - \lambda * \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}) * x = 0 \end{eqnarray*}$

Ja?
Wenn ja, dann bitte meinen letzten Beitrag vom 12.11. langsam und Schritt für Schritt durcharbeiten. Da steht alles drin und mehr kann man eigentlich nicht erklären.

15.11.2004, 07:23

der neue

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ich mache mal einen anderen voorschlag.

ich meine, ich muß ja nicht alles richtig haben wenn ich die aufgaben abgebe.

daher fange ich wieder ganz hinten an bei der letzten aufgabe.

ich hatte hier ja schonmal die aufgabe gepostet:

zur herstellung von weihnachtsgebäck braucht man mehl,zucker und gewürze.

diese mischung sollte einen gehalt an kohlenhydraten von mind. 300 [ME] haben sowie mind. 15 [ME] Fett und mind. 50 [ME] proteine enthalten.

in der folgenden tabelle sind die jeweiligen mengen der nährstoffe wiedergegeben:

mehl zucker gewürze

kohlenhydrate 100 [ME] 10 [ME] 50 [ME]
fett 0,1 [ME] 0,4 [ME] 0,35 [ME]
proteine 1 [ME] 4,5 [ME] 7,3 [ME]

es bezeichnet x1,x2 und x3 die mengeneinheiten [ME] von mehl, zucker und gewürzen.

stellen sie die ungleichungen für die notwendige mindestmenge der zutaten auf.

für kohlenhydrate:

dann nehme ich 1,5 me mehl + 2 me gewürze + 5 me zucker.
dann habe ich =>300 me, nämlich genau 300.

für fett:

10 me mehl + 5 me zucker + 10 me gewürze = 15,5 me fett

für proteine:

10 me mehl + 5 me zucker + 3 me gewürze = 54,4 me proteine.

richtig so...?

15.11.2004, 07:40

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das ist echt ne Quälerei mit dir.
10 me mehl + 5 me zucker + 10 me gewürze ergeben bei mir 6,5 ME Fett.
Ich frage mich, warum du für Kohlenhydrate, Fett und Proteine unterschiedliche Mengen nimmst und was das ganze jetzt soll.

15.11.2004, 08:24

der neue

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ich mache das weil ich diese arbeit nur bestehen muß um zur klausur zugelassen zu werden.

d.h. es reicht "ausreichend"

und da ich momentan mit den eigenwerten nicht weiter komme, dachte ich, ich rolle das feld von hinten auf.

es geht doch darum:

kohlenhydrate= x1+x2+x3=> 300

fett=x1+x2+x3=>15

proteine=x1+x2+x3=>50

nochmal zum fett:

es besteht aus 0.1 me mehl
0.4 me zucker
0.35 me gewürze oder nicht?

15.11.2004, 08:39

klarsoweit

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schade, wo wir mit den Eigenwerten schon so weit waren und eigentlich nicht mehr viel gefehlt hat. Und was nützt die Zulassung zur Klausur, wenn du von dem Stoff das meiste nicht verstanden hast?

Zitat:

Original von der neue
nochmal zum fett:

es besteht aus 0.1 me mehl
0.4 me zucker
0.35 me gewürze oder nicht?

Wenn ich es richtig verstanden habe, ist es gerade umgekehrt:
1 me Mehl hat 0,1 me Fett.
1 me Zucker hat 0,4 me Fett.
1 me Gewürze hat 0,35 me Fett.

15.11.2004, 08:52

der neue

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das mit den eigenwerten ist ja nicht schade...das läuft ja nicht weg.

das leigt nur daran, das der abgabtermin drückt...wenn das erstmal erledigt ist, dann hab ich auch die zeit mir den stoff (auch aus den früheren jahren) reinzu ziehen.

nehmen wir mal deine ausführung von den me:

ich muß ja gleich o. mehr als 15 me fett haben.

wenn ich 20 me zucker (1me=0,4me) nehme =8 me zucker in fett
20 me mehl (1me=0,1me) nehme =2 me mehl in fett
15 me gewürz (1me=0,35me)nehme=5,25me gewürz in fett

=>15,25 me fett

15.11.2004, 09:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von der neue
wenn ich 20 me zucker (1me=0,4me) nehme =8 me zucker in fett
20 me mehl (1me=0,1me) nehme =2 me mehl in fett
15 me gewürz (1me=0,35me)nehme=5,25me gewürz in fett

=>15,25 me fett

würde ich so sehen, hätte es aber so geschrieben:

20 me zucker (1me=0,4me) nehme =8 me Fett in Zucker
20 me mehl (1me=0,1me) nehme =2 me Fett in Mehl
15 me gewürz (1me=0,35me)nehme=5,25me Fett in Gewürz

15.11.2004, 09:50

der neue

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muß ich denn bei der "ausgestaltung" der aufgabe noch was beachten, wegen der richtigkeit der schreibweise?

15.11.2004, 10:47

klarsoweit

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weiß jetzt nicht, was du meinst.
Es ist doch so, dass das Fett im Zucker ist und nicht umgekehrt.

PS: Gibt es denn niemanden, der die gleichen Aufgaben bearbeitet und den du mal fragen kannst?

15.11.2004, 11:12

der neue

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zur herstellung von weihnachtsgebäck braucht man mehl,zucker und gewürze.

diese mischung sollte einen gehalt an kohlenhydraten von mind. 300 [ME] haben sowie mind. 15 [ME] Fett und mind. 50 [ME] proteine enthalten.

in der folgenden tabelle sind die jeweiligen mengen der nährstoffe wiedergegeben:

mehl zucker gewürze

kohlenhydrate 100 [ME] 10 [ME] 50 [ME]
fett 0,1 [ME] 0,4 [ME] 0,35 [ME]
proteine 1 [ME] 4,5 [ME] 7,3 [ME]

es bezeichnet x1,x2 und x3 die mengeneinheiten [ME] von mehl, zucker und gewürzen.

stellen sie die ungleichungen für die notwendige mindestmenge der zutaten auf.

kannst du damit was anfangen?

15.11.2004, 12:04

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also die Ungleichung für Kohlenhydrate wäre doch:
100 * x1 + 10 * x2 + 50 * x3 >= 300
für die anderen analog.
Nur den Sinn der Aufgabe habe ich noch nicht verstanden.
Vielleicht soll man die kleinsten x1, x2 und x3 finden, mit denen man gerade noch eine Backmischung zustande bringt?

15.11.2004, 12:41

der neue

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gefordert ist ja die notwendige mindestmenge also:

300 me kh
15 me fett
50 me gewürz

wöfür steht denn bei dir das x1?

es muß doch eine zahl dabei sein...

15.11.2004, 13:02

klarsoweit

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Das hast du doch selbst gesagt:

Zitat:

Original von der neue
es bezeichnet x1,x2 und x3 die mengeneinheiten [ME] von mehl, zucker und gewürzen.

Also im Klartext:
x1 = Anzahl ME Mehl
x2 = Anzahl ME Zucker
x3 = Anzahl ME Gewürze

Und dann wirfst du die Begriffe Proteine und Gewürze durcheinander.

Aber habe ich jetzt ein Problem. Das ganze ist meines Erachtens eine lineare Optimierungsaufgabe und da bin ich nicht so sattelfest.

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