abgabetermin rückt näher

04.11.2004, 15:23

der neue

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abgabetermin rückt näher

hi leute...ich entschuldige mich schon im voraus, das ich eure nerven hier stark beanspruchen werde.

also ich habe ja hier schon versucht einige aufgaben zu rechnen.

um aber einen besseren überblick zu erhalten werde ich nun in diesem thema alle meine aufgaben rechnen und prüfen lassen.

aufgabe 1: gegeben sei die matrix $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 5 & 8 &\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) bestimmen sie den rang der matrix

durch geschicktes rechnen kam ich auf Rg A = 2

b) bestimmen sämtlicher eigenwerte von A

keine ahnung wie das geht

c) zu jedem eigenwert einen eigenvektor bestimmen

siehe b

aufgabe 2:

ich soll die inverse der matrix $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 5 & 0 & -5 \\ 0 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich euer mathetool zur berechnung der inverse einer matrix richtig bedient habe so erhalte ich

$\begin{eqnarray*} A^{-1} = \begin{pmatrix} 0,07 & 0 & 0,33 \\ 0,27 & 0,50 & -0,67 \\ -0,13 & 0 & 0,33 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

den rechenweg gibts hier

http://www.matheboard.de/inverse_matrix_berechnen.php

bitte erklärt mir die einzelnen rechenschritte

aufgabe 3:

gegeben seien folgende hyperebenen $\begin{eqnarray*} H_{b}=\{{x}\in R^3\mid2x_1+4x_2-4x_3-b=0\} \end{eqnarray*}$ die durch verschiedene werte der größe $\begin{eqnarray*} b\in R \end{eqnarray*}$ charakterisiert sind.

berechnen sie alle hyperebenen $\begin{eqnarray*} H_b o \end{eqnarray*}$ , die vom punkt $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = (2,2,2)^t \end{eqnarray*}$ den abstand gleich 1 haben

vielleicht könnt ihr mir ein paar rechenschritte erklären?

04.11.2004, 18:48

Mazze

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So

1

a) Rang 2 ist korrekt.

b) Wie wärs wenn Du mal in Deine Unterlagen schaust und ergründest was Eigenwerte/Eigenvektoren sind. Dann erzählst Du mal wie man darauf kommt und ich sag dir dann ja oder nein.

c) analog

2) Es gibt keinen Eindeutigen weg eine Inverse zu berechnen. Kennst Du dich mit der Adjunkten einer Matrix aus?

3)

Zitat:

vielleicht könnt ihr mir ein paar Rechenschritte erklären?

Vielleicht kannst Du mal deine Ideen die du dazu hast nennen?

04.11.2004, 18:52

Deakandy

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Zu deinem inversen,..,
nimm deine Matrix und schreibe die Einheitsmatrix daneben
100
010
001

Nun operierst du an deiner matrix rum bis du die einheitsmatrix rausbekommst
analog machst du die gleichen operationen mit der einheitsmatrix die du vorher hingeschrieben hast
Versuchs mal

Achso eigenwerte
kennste den buchstaben $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
der hat da oft was mit zu tun smile

smile

09.11.2004, 09:18

der neue

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@ mazze

zu b:

ich habe was in meinen unterlagen gefunden und versuche es mal zu übertragen.

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 5 & 8\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das charakteristrische polynom lautet ????

$\begin{eqnarray*} \mid A-\lambda\mid = \begin{vmatrix} 4-\lambda& 1\\5 & 8-\lambda\end{vmatrix} = (4-\lambda) \cdot(8-\lambda) - 1\cdot5= \lambda^2 - 12\lambda + 9 \end{eqnarray*}$

soweit i.O.???

09.11.2004, 11:56

klarsoweit

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na ja, annähernd: bei mir ist 4* 8 - 5 = 27
Für die Eigenwerte mußt du noch die Nullstellen ausrechnen.
Allgemein gilt für Eigenwerte die Gleichung:
A * x = lambda * x
Dies führt dann mit diversen Überlegungen zu dem charakteristischen Polynom.

09.11.2004, 12:23

der neue

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kann ich dann diesen $\begin{eqnarray*} = \lambda^2 - 12\lambda + 9 \end{eqnarray*}$ abschnitt weglassen?

dann ist das char. polynom 27?

wie komme ich auf die nullstellen?

in einer beispielaufgabe mit der matrix 8 7
1 2

heißt es

$\begin{eqnarray*} \lambda {1/2} =5 \pm \sqrt{25} - 9=5 \pm 4 \end{eqnarray*}$

also sind 9 und 1 eigenwerte von a.

wie kommt man auf die zahlen?

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09.11.2004, 13:17

klarsoweit

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bitte nicht so quer denken.
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
(schau mal in deinen Unterlagen nach)
Das Polynom lautet:
$\begin{eqnarray*} (4 - \lambda) * (8 - \lambda) - 5 = \lambda^2 - 12 * \lambda + 27 \end{eqnarray*}$

davon die Nullstellen ausrechnen!!!

09.11.2004, 13:46

der neue

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ich gebe dir mal das beispiel aus meinem buch (wortgetreu)

beispiel:

zu

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 8 & 7\\ 1 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lautet das char. polynom:

$\begin{eqnarray*} \mid A-\lambda\mid = \begin{vmatrix} 8-\lambda& 7\\1 & 2-\lambda\end{vmatrix} = (8-\lambda) \cdot(2-\lambda) - 1\cdot7= \lambda^2 - 10\lambda + 9 \end{eqnarray*}$

es besitzt die nullstellen

$\begin{eqnarray*} \lambda {1/2} = 5\pm \sqrt{25-9} = 5\pm 4 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \lambda{1} =9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda{2} =1 \end{eqnarray*}$ ;d.h. 9 und 1 sind die eigenwerte von A.

das mit der berechung der eigenvektoren verstehe ich nicht vom buch her.

aber ich übertrage jetzt diese aufgabe auf meine:

zu

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 5 & 8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lautet das char. polynom:

$\begin{eqnarray*} \mid A-\lambda\mid = \begin{vmatrix} 4-\lambda& 1\\5 & 8-\lambda\end{vmatrix} = (4-\lambda) \cdot(8-\lambda) - 5\cdot1= \lambda^2 - 12\lambda + 9 \end{eqnarray*}$

hab ich bis hier richtig überlegt?

09.11.2004, 15:30

klarsoweit

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Das Beispiel aus dem Buch stimmt.

Zitat:

Original von der neue
zu
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 5 & 8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lautet das char. polynom:

$\begin{eqnarray*} \mid A-\lambda\mid = \begin{vmatrix} 4-\lambda& 1\\5 & 8-\lambda\end{vmatrix} = (4-\lambda) \cdot(8-\lambda) - 5\cdot1= \lambda^2 - 12\lambda + 9 \end{eqnarray*}$

hab ich bis hier richtig überlegt?

Ja und nein!!! Siehst du deinen Rechenfehler nicht?
Es muß heißen:
$\begin{eqnarray*} (4-\lambda) \cdot(8-\lambda) - 5\cdot1= \lambda^2 - 12\lambda + 27 \end{eqnarray*}$

Nochmal zu den Eigenwerten ein kurzer Abriß. Gefordert ist, dass gilt (Beispiel):
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 5 & 8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wobei (x;y) nicht der Nullvektor ist.
Das führt zu einem linearen Gleichungssystem, das mehr als eine Lösung (nicht nur den Nullvektor) haben soll. Daraus ergibt sich, dass die Determinante des Gleichungssystems = 0 sein muß. Die Determinante ist hier das charakteristische Polynom.

09.11.2004, 15:46

der neue

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wie kommt man denn auf das ergebnis?

$\begin{eqnarray*} \mid A-\lambda\mid = \begin{vmatrix} 4-\lambda& 1\\5 & 8-\lambda\end{vmatrix} = (4-\lambda) \cdot(8-\lambda) - 5\cdot1= \lambda^2 - 12\lambda + 9 \end{eqnarray*}$

also die 27 ist mittlerweile klar (4*8-5)

aber die 12??

und wie komme ich auf die nullstellen?

ich meine was wurde hier

$\begin{eqnarray*} \lambda {1/2} = 5\pm \sqrt{25-9} = 5\pm 4 \end{eqnarray*}$

gerechnet?

09.11.2004, 16:04

Gast

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hi na weist du inzwischen wie man auf die 12 kommt.
Die Nullstellen werden ganz normal mit der pq-formel ausgerechnet

09.11.2004, 16:10

klarsoweit

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Bitte nochmal genau hinschauen!!!
Das ist doch einfaches Ausrechnen von Klammerausdrücken!!!
$\begin{eqnarray*} (4-\lambda) \cdot(8-\lambda) = 32 - 12\lambda + \lambda^2 \end{eqnarray*}$
Von dem Polynom $\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 12\lambda + 27 \end{eqnarray*}$ sind die Nullstellen auszurechnen, also:
$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 12\lambda + 27 = 0 \end{eqnarray*}$
Ich nehme mal an, dass die Nullstellenberechnung kein Problem ist.

Und bitte nicht die zwei verschiedenen Aufgaben durcheinander werfen.

10.11.2004, 09:09

der neue

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das sagst du so einfach..

nur ich habe kein abi und bin schon seit längerem aus der schule.

und wie ich die nullstellen berechne weiß ich auch nich..die pq-formel kenne ich nicht.

10.11.2004, 09:36

klarsoweit

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ui, dann wird's schwierig.
Sind wir uns denn einig, dass das charakteristische Polynom
$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 12\lambda + 27 \end{eqnarray*}$ ist?
Die Nullstellen mit der pq-Formel geht so:
Zu lösen ist: x² + p * x + q = 0
x_1_2 = -p/2 +- Wurzel(p²/4 - q)
Soll sagen: es gibt zwei Nullstellen x1 und x2, eine mit dem + vor der Wurzel und eine mit dem - vor der Wurzel. Für die konkrete Gleichung ist p = -12 und q = 27

10.11.2004, 09:53

der neue

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wenn du es so meinst:

2 x lamda = lamda hoch2
4 x 8 = 32
4 + 8 =12

dann ja...

aber wie kommst du jetzt auf 27?

10.11.2004, 10:16

Mazze

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Zitat:

aber wie kommst du jetzt auf 27?

Schau Dir noch einmal genau an wie man die Determinante von einer 2x2 Matrix berechnet. Dann wirst Du auch sehen warum das Absolutglied 27 ist.

Zitat:

und wie ich die nullstellen berechne weiß ich auch nich

Wieder das leidige Thema das Du keine oder unzureichende Vorkenntnisse hast und trotzdem versuchst aufgaben anzugehen, wo Du jene Vorkenntnisse mehr als benötigst. Aber das hatten wir ja...

Nun, wie berechnet man die Nullstelle einer Funktion? In dem man eine Gleichung erzeugt und diese dann nach x auflößt. Beispiel

f(x) = 2x + 4

Wir erzeugen eine Gleichung

0 = 2x + 4

und stellen nach x um

-4 = 2x
-2 = x

Die Nullstelle ist bei x = -2. So, nun wollen wir die Nullstelle eines Polynoms berechnen. Dafür gibt es, wenn Du ein Polynom vom Grad 2 hast einige "Standartformeln". Unter anderem Mitternachtsformel und abc-Formel beides das gleiche und als Spezialfall davon die pq-Formel. Ich schlage vor Du versuchst Dir erstmal selbst die Formeln irgendwoher zu holen. (vielleicht aus deiner Formelsammlung...). Das sind , wie so oft elementare Dinge die man können muss um solche Aufgaben zu lösen.

10.11.2004, 10:53

der neue

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moment nochmal...ich fange nochmal ganz von vorne an.

ich nehme jetzt nochmal das komplette beispiel aus meinem buch.

beispiel:

zu

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 8 & 7\\ 1 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lautet das char. polynom:

$\begin{eqnarray*} \mid A-\lambda\mid = \begin{vmatrix} 8-\lambda& 7\\1 & 2-\lambda\end{vmatrix} = (8-\lambda) \cdot(2-\lambda) - 1\cdot7= \lambda^2 - 10\lambda + 9 \end{eqnarray*}$

hier mein erster einwand!!!

was und wie wurde hier gerechnet um auf $\begin{eqnarray*} = \lambda^2 - 10\lambda + 9 \end{eqnarray*}$ zu kommen, und wie komme ich auf das char. polynom?

und wird es so immer mit "-" gerechnet?

--------------------------------

es besitzt die nullstellen

$\begin{eqnarray*} \lambda {1/2} = 5\pm \sqrt{25-9} = 5\pm 4 \end{eqnarray*}$

was und wie wurde hier gerechnet

also

$\begin{eqnarray*} \lambda{1} =9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda{2} =1 \end{eqnarray*}$ ;d.h. 9 und 1 sind die eigenwerte von A.

was und wie wurde hier gerechnet

--------------------------------

zur berechnung der eigenvektoren werden die eigenwerte in die gleichung $\begin{eqnarray*} (A-\lambda{i}I)x= 0 , i= 1,2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt

woher kommen diese zahlen?

ich denke das reicht sowei erstmal.

10.11.2004, 11:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von der neue
zu

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 8 & 7\\ 1 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lautet das char. polynom:

$\begin{eqnarray*} \mid A-\lambda\mid = \begin{vmatrix} 8-\lambda& 7\\1 & 2-\lambda\end{vmatrix} = (8-\lambda) \cdot(2-\lambda) - 1\cdot7= \lambda^2 - 10\lambda + 9 \end{eqnarray*}$

hier mein erster einwand!!!

was und wie wurde hier gerechnet um auf $\begin{eqnarray*} = \lambda^2 - 10\lambda + 9 \end{eqnarray*}$ zu kommen, und wie komme ich auf das char. polynom?

Das charakteristische Polynom ist nunmal so definiert:
Ziehe in den Elementen der Diagonale der Matrix lambda ab und bilde die Determinante. Und genau das ist in dem Beispiel gemacht:

$\begin{eqnarray*} \mid A-\lambda\mid = \begin{vmatrix} 8-\lambda& 7\\1 & 2-\lambda\end{vmatrix} = (8-\lambda) \cdot(2-\lambda) - 1\cdot7= \lambda^2 - 10\lambda + 9 \end{eqnarray*}$
Hierzu muß noch gesagt werden, dass es eigentlich heißen muß:
$\begin{eqnarray*} \mid A-\lambda \cdot E\mid \end{eqnarray*}$ wobei E die Einheitsmatrix (1 auf der Diagonale, sonst 0) ist.
Welcher Schritt in der Rechung ist jetzt nicht klar. Ist es das Ausrechnen der Determinate. Oder ist es das Ausrechnen eines Klammerausdrucks im weiteren Ablauf?

Täte mich mal nebenbei interessieren, warum du das wissen willst bzw. wofür du lernst? Für jemanden ohne Abi muß da ne Menge nachgeholt werden.

10.11.2004, 11:55

der neue

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ich verstehe nicht wie

$\begin{eqnarray*} 8-\lambda) \cdot(2-\lambda) - 1\cdot7= \lambda^2 - 10\lambda + 9 \end{eqnarray*}$

sein kann.

ich muß es wissen weil ich momentan ein fernstudium betreibe und darüber eine hausaufgabe schreiben muß, neben ein paar anderen aufgaben.

10.11.2004, 11:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von der neue
ich verstehe nicht wie

$\begin{eqnarray*} 8-\lambda) \cdot(2-\lambda) - 1\cdot7= \lambda^2 - 10\lambda + 9 \end{eqnarray*}$

sein kann.

ich muß es wissen weil ich momentan ein fernstudium betreibe und darüber eine hausaufgabe schreiben muß, neben ein paar anderen aufgaben.

Den Klammerausdruck muß man mit dem Distributivgesetz ausrechnen. Also (ich nehme mal x statt lambda zum schreiben):
(8 - x) * (2 - x) = 8 * (2 - x) - x * (2 - x) =
16 - 8x - 2x + x² = x² - 10x + 16
klar soweit?

10.11.2004, 12:14

der neue

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also alles was außerhalb der klammer steht mit dem inhalt multiplizieren.

woher hast du denn jetzt die zweite (2-x) ?

10.11.2004, 12:51

Me

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(8-x)*(2-x) kann man auch schreiben in 8*(2-x) - x*(2-x)

10.11.2004, 13:10

klarsoweit

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bitte schau dir das Distributivgesetz genau an, das war auch Schulstoff!!!
Also:
a * (b + c) = a * b + a * c
(a + b) * c = a * c + b * c
Ich habe die letzte Formel verwendet, wobei:
a = 8, b = -x und c = 2 - x
Und dann das Distributivgesetz nochmal anwenden.

10.11.2004, 13:43

der neue

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böppp....auszeit...komme nicht ganz mit...scheiss mathe...

nehme mir mal ne kleine auszeit.

10.11.2004, 15:40

klarsoweit

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also nochmal ein kleines praktisches Beispiel:
7 * 5 = (3 + 4) * 5 = 3 * 5 + 4 * 5 = 15 + 20 = 35
Natürlich kann man 7 * 5 auch direkt ausrechnen,
es geht auch nur mal darum, das Distributivgesetz an einem Beipsiel auszuprobieren.

10.11.2004, 17:56

Mazze

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Seh ich das richtig das Du Probleme mit dem ausmultiplizieren von Termen hast? Also das was Schüler in der sechsten Klasse lernen? So wie es aussieht macht es für Dich mehr Sinn erstmal die Grundrechenarten zu lernen anstatt sich mit Eigenwerten und Eigenvektoren auseinander zu setzen. Und das mein ich ernst. Es ist nicht so das ich nichtwissen oder auch nichtkönnen verurteile (da hab ich selbst genügend eigene Beispiele), aber Du hast erhebliche Probleme mit bereits einfachen Rechnungen. Wie erwartest Du also "kompliziertere" Sachen zu meistern?

10.11.2004, 18:10

der neue

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indem man mir erklärt - ohne fachausdrücke - wie man mit welchen rechenschritten zu dem oder dem ergebnis kommt.

10.11.2004, 22:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von der neue
indem man mir erklärt - ohne fachausdrücke - wie man mit welchen rechenschritten zu dem oder dem ergebnis kommt.

Das versuchen wir ja gerne, nur irgendwann sind wir beim Einmaleins angekommen. Und wenn man Eigenwerte von Matrizen bestimmen will, muß man einfach gewisse Dinge voraussetzen. Nun gut, ist denn mein Beispiel, wie man 7 * 5 rechnet, wenigstens verstanden?

11.11.2004, 08:42

der neue

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ja also das habe ich noch verstanden.

11.11.2004, 09:43

klarsoweit

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gut, dann nehmen wir den Ausdruck:
(8 - x) * a = ...
Kannst du da mit dem Distributivgesetz (siehe früheres Posting) die Klammer auflösen und das Ergebnis hinschreiben?

11.11.2004, 10:07

der neue

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ok ich kanns ja mal versuchen...

also du hast diese formel genommen:

(a + b) * c = a * c + b * c

ich nehme jetzt meine formel.

$\begin{eqnarray*} (8-\lambda) \cdot(2-\lambda) - 1\cdot7= \lambda^2 - 10\lambda + 9 \end{eqnarray*}$

wobei du gesagt hast du nimmst für

a: 8

b:-x

c:2-x

dann sollte ich wohl rechnen.

(8 - lamda) * (2 - lamda) = 8 * (2 - lamda) - lamda * (2 - lamda) =
16 - 8lamda - 2lamda + lamda² = lamda² - 10lamda + 16

und was hab ich jetzt gerechnet? falls es überhaupt richtig ist?

11.11.2004, 12:04

klarsoweit

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alles richtig gerechnet! jetzt noch von dem Ergebnis das 1 * 7 abziehen, dann steht das charakteristische Polynom da.
Davon nun die Nullstellen bestimmen. Wie siehst es damit aus?

11.11.2004, 12:40

der neue

Auf diesen Beitrag antworten »

1*7 hiervon abgezogen ?

$\begin{eqnarray*} (8-\lambda) \cdot(2-\lambda) - 1\cdot7= \lambda^2 - 10\lambda + 9 \end{eqnarray*}$

sorry?

11.11.2004, 13:00

klarsoweit

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na ja klar!!!
Du hattest gerechnet:
(8 - lamda) * (2 - lamda) = 8 * (2 - lamda) - lamda * (2 - lamda) =
16 - 8lamda - 2lamda + lamda² = lamda² - 10lamda + 16

Aber eigentlich wollten wir rechnen:
(8 - lamda) * (2 - lamda) - 1 * 7
Also mußt du von dem Ergebnis lamda² - 10lamda + 16 noch die 1 * 7, sprich 7, abziehen.

11.11.2004, 13:27

der neue

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$\begin{eqnarray*} \lambda ^2 - 10\lambda + 16- 7 \end{eqnarray*}$

= wenn ich von jedem 7 abziehe

$\begin{eqnarray*} - 7\lambda^2- 3\lambda +9 \end{eqnarray*}$

11.11.2004, 13:52

klarsoweit

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autsch, du ziehst die 7 nur von der 16 ab, nicht von lamda² bzw. von -10*lamda; in der Art, wie du das geschrieben hast, geht das sowieso nicht.
wenn da steht: 8 + 15 + 12 - 7, dann ziehst du die 7 nur von einer Zahl ab und nicht von allen!!!
Aber das ist jetzt Stoff der Grundschule. Langsam hab ich den Eindruck, hier möchte mich einer ganz schwer vereimern.

Und zu dem, was du gerechnet hast: von einer Variablen (Unbekannten) kann man keine normale Zahl abziehen bzw. addieren. Das geht beim besten Willen nicht. Und noch ein Tipp: unbedingt den Schulstoff der Klassen 5 bis 10 wiederholen!!!

11.11.2004, 14:03

der neue

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$\begin{eqnarray*} \lambda ^2 - 10\lambda + 16- 7 \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \lambda ^2 - 10\lambda + 9 \end{eqnarray*}$

jetzt besser?

11.11.2004, 14:16

klarsoweit

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richtig, jetzt sind wir da, wo wir gestern um 10:53 losgelegt haben.
Nun müssen die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \lambda ^2 - 10\lambda + 9 \end{eqnarray*}$ gesucht werden. Es muß also die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \lambda ^2 - 10\lambda + 9 = 0 \end{eqnarray*}$
gelöst werden. Wie siehst damit aus?

Apropos Abgabetermin: Für was bzw. für welche Ausbildung muß das abgegeben werden?

11.11.2004, 14:26

der neue

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eher nich so gut...

11.11.2004, 14:31

klarsoweit

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nun gut (oder auch nicht). Ich nehme mal wieder x statt lambda.
Also wir haben zu lösen: x² - 10x + 9 = 0
Jetzt gibts verschiedene Ansätze. Einer ist, die Gleichung in die Form (x - p) * (x - q) zu bringen.
Wenn wir mal (x - p) * (x - q) ausrechnen, erhalten wir:
x² - (p + q) * x + p*q
OK bis hier?
PS: In welcher Schule warst du?

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