Körper, Gruppen

Die reellen Zahlen mit den Verknüpfungen "Multiplikation" und "Addition" bilden einen Körper. Die reellen Zahlen mit der Verknüpfung "Addition" bilden eine abelsche (=kommutative) Gruppe.

Gruß vom Ben

06.11.2004, 23:13

The_Lion

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hallo.

Bei der multiplikativen Schreibweise wird das inverse Element zu a mit $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ bezeichnet. In meinem Buch steht, dass $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ keinen Sinn ergibt, da i.a. $\begin{eqnarray*} a^{-1} b \neq b a^{-1} \end{eqnarray*}$ ist.
Wieso sollte das keinen Sinn ergeben?

Danke.

08.11.2004, 12:17

Ben Sisko

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Zitat:

Original von The_Lion
Wieso sollte das keinen Sinn ergeben?

Weil man eben nicht weiß, ob $\begin{eqnarray*} a^{-1} b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b a^{-1} \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Das ist nur im kommutativen (abelschen) Fall dasselbe.

Gruß vom Ben

08.11.2004, 12:46

Tobias

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Das Problem mit dem "a/b" ist genau eines der Gründe, warum man überhaupt Körper und Gruppen usw. eingeführt hat. Es geht nämlich immer um das "Wie darf ich mit der Menge rechnen, was ist erlaubt und wohldefniert?".

Wenn man z.B. die Bruchrechenregeln in der Schule lernt, dann benutzt man im Zähler und Nenner jeweils ganze Zahlen. Später rechnet man aber mit reellen Zahlen und benutzt die Bruchregeln weiter, ohne darüber nachzudenken, dass man sie eigentlich hätte erneut beweisen müssen. Die Algebra findet nun allgemeinere Formen. Sie stellt ein abstraktes System mit Axiomen auf und sagt: In jedem Gebilde, dass die hier dargelegten Axiome erfüllt gelten die Bruchregeln und man darf sie anwenden.

Und hier liegt das Dilemma, mit dem man sich bei Erstkonfrontation mit diesen Konstrukten abfinden muss:

Ein Körper hat keine geometrisch anschauliche Interpretation. Man findet höchstens etwas anschaulichere Beispiele von Körpern, wie z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}, \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .

Der Gaußalgorithmus funktioniert z.B. im allgemeinen nur im Körper, da er auf die Existenz von Inversen etc. angewiesen ist. Er ist stark eingeschränkt, wenn man versucht mit lediglich einem Ring zu arbeiten.

Ich hoffe das bringt dich in deiner Vorstellung ein wenig weiter.

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