LineareAlgebra: schwere Aufgabe über Gruppen, Klassen, Äquivalenzrelationen

04.11.2004, 19:14	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
LineareAlgebra: schwere Aufgabe über Gruppen, Klassen, Äquivalenzrelationen Es sei (A, o ) eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element e. In A gelte die ,,Kürzungsregel“, d.h. für alle x, y, z $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A mit x o z = y o z gilt x = y. Zeigen Sie: a) Auf A × A wird durch (x1, y1) ~ (x2, y2) :<--> x1 o y2 = x2 o y1 eine Äquivalenzrelation ~ definiert. b) Auf B := (A × A) /~ wird durch [(x1, y1)]~ * [(x2, y2)]~ := [(x1 o x2, y1 o y2)]~ eine Verknüpfung * definiert. c) (B, * ) ist eine kommutative Gruppe. d) Es gibt eine injektive Abbildung f : A --> B mit f(x o y) = f(x) * f(y) für alle x, y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A. (A lässt sich also in eine kommutative Gruppe ,,einbetten“.)

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