Stetigkeit

25.03.2007, 00:33	Lena1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit Hey!! Die Frage kommt wahrscheinlich ein bisschen dämlich rüber, aber ich versuche nun wirklich schon seit 2 Stunden herauszufinden, wie ich überprüfe ob eine Funktion in einem gewissen Punkt stetig ist. Also ich weiß halt prinzipiell was Stetigkeit bedeutet, aber die Herangehensweise mit Limes und dem ominösen Epsilon-Delta-Kriterium bleibt mir verschlossen... Es wär wirklich sehr nett, wenn jemand versuchen könnte, mir das ganze nochmal in "normaler" Sprache zu erklären, oder mir zumindest ein einfaches Rechenbeispiel zur Überprüfung der Stetigkeit aufzeigen könnte. Taaausen Dank schonmal im Voraus, Gruß, Lena.
25.03.2007, 01:11	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn eine Funktion im Punkt $\begin{eqnarray} x=c \end{eqnarray}$ setig ist, dann gilt $\begin{eqnarray} \lim_{x \nearrow c} f(x) = \lim_{x \searrow c} f(x) = f(c) \end{eqnarray}$
25.03.2007, 03:16	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Pseudomnym: Insbesondere gilt diese Grenzwertbetrachtung für jede gegen c konvergente Folge, bzw. muss für jede gegen c konvergente Folge gelten. Zur Stetigkeit im allgemeinen: Betrachte den Graphen einer Funktion im reellen, also das was Du aus der Schule kennst. Eine Funktion ist stetig wenn Du sie ohne den Stift abzusetzen zeichnen kannst, zumindest ist sie dann in allen diesen Punkten in der Du sie zeichnest stetig. Dies ist natürlich ungenau und für einen mathematischen Beweis unbrauchbar lässt aber eventuel schon ein kleines Verständnis zu. Zu Epsilon Delta: Die Definition kennst Du ja. Für den obigen Typ von Funktionen heisst das, das Du die Funktion in ein rechteck "einsperren" kannst. Betrachte zunächst das Epsilon: $\begin{eqnarray} \|f(x_0) - f(x)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Das sind die Funktionswerte, hier wird quasi die vertikale des Rechtsecks festgelegt. Jetzt soll also zu jedem Epsilon, also zu jeder Rechteckhöhe, ein Delta existieren so das die Urbilder $\begin{eqnarray} \|x - x_0\| < \delta \end{eqnarray}$ sein soll. Das ist dann die Horizontale des Rechtecks. Wenn man jetzt zu jeder bel. Rechteckhöhe eine horizontale Linie findet so das die Funktion aus dem entstehenden Rechteck nicht abhaut so heisst die Funktion stetig. Ich mach Dir das mal an einem sehr einfachen Beispiel klar: f(x) = 2x Jetzt nehmen wir mal an das $\begin{eqnarray} \|2x - 2\| < 2 \end{eqnarray}$ sein soll, wir untersuchen also die Stetigkeit im Punkt 1. Ich habe Epsilon als 2 gewählt, jetzt müssen wir dazu ein Delta finden so das $\begin{eqnarray} \|x - 2\| < \delta \end{eqnarray}$ ist. Alle x so dass $\begin{eqnarray} \|2x - 2\| < 2 \end{eqnarray}$ ist sind im Intervall $\begin{eqnarray} (0,2) \end{eqnarray}$ , entsprechend ist für diese x $\begin{eqnarray} \|x - 1\| < 1 \end{eqnarray}$ . Das ist aber nicht die Stetigkeit in 2 sondern nur ein Beispiel eines dieser Rechtecke die ich erwähnte. In diesem Fall könnte man ein Rechteck im Punkt 1 mit der Breite = 1 und Höhe = 2 ansetzen. Allgemein muss es für jedes Epsilon, also für jede Höhe eine zugehörige Breite geben, das macht man zum Beispiel so: Sei $\begin{eqnarray} \|2x - 2\| < \epsilon \end{eqnarray}$ dann ist sicher auch $\begin{eqnarray} \|x-1\| < 2\|x-1\| = \|2x - 2\| < \epsilon \end{eqnarray}$ wobei der letzte Schritt gerade die Vorraussetzung ist. Der erste Ungleichungsschritt ist mit nachdenken passiert, und das muss man in der Regel auch bei Epsilon delta. Es sollte aber klar sein das \|x-1\| < 2\|x-1\| , es handelt sich halt um eine sehr einfache Funktion. Damit wähle also $\begin{eqnarray} \delta = \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray}$ und wir haben zu jedem Epsilon ein Delta gefunden. Damit ist f in 2 stetig. Das allgemeinste wäre nun zu Untersuchen ob f überall stetig ist, dazu setzt man an: $\begin{eqnarray} \|2x - 2x_0\| < \epsilon \end{eqnarray}$ oder anders: $\begin{eqnarray} \|x - x_0\| < 2\|x - x_0\| = \|2x - 2x_0\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Prinzipiell ist es das gleiche wie die stetigkeit in 2, muss aber nicht immer aboslut gleich verlaufen. Wie auch immer hier kann man wieder epsilon = 2delta wählen. Die stetigkeit einer Funktion ist also quasi die Eigenschaft das man die in bel. Rechtecken einsperren kann, deren Breite von der Höhe abhängt. Das ist natürlich nur für den eindimensionalen Fall so gegeben.
25.03.2007, 11:38	Lena1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, vielen Dank für die schnelle + umfangreiche Erklärung. JETZT hab ich's!!!!

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