Bildmengen und Urbildmengen

04.11.2004, 21:35	Sinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Bildmengen und Urbildmengen Hallöchen.. ich habe eigentlich nur mal ne kleine Frage.. Soll mehrere Aufgaben nach folgender Aufgabenstellung lösen: Berechnen Sie für die folgenden Funktionen f: R -> R und die folgenden Teilmengen X Teilmenge R jeweils die Bildmengen f(X) und die Urbildmengen f (hoch) -1 (X)." Mal folgendes Beispiel: f(x) = cos x, X = [0, pi/2]. Ich habe jetzt einfach aufgeschrieben: f(X) = [1,0] f hoch -1 (X) = [0,1] Ist das so okay?? Oder habe ich mir das zu einfach gedacht? Danke schon mal für ne Antwort!! Sinchen
04.11.2004, 23:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest die Reihenfolge der Intervallrandwerte beachten: $\begin{eqnarray} f(X) = [0,1] \end{eqnarray}$ Ansonsten stimmt die Aussage. Mit dem zweiten Teil der Aufgabe bin ich jedoch nicht einverstanden (ist das wirklich immer noch dasselbe $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ?). Das Urbild von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ besteht aus allen reellen Zahlen, die durch die Cosinusfunktion nach $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ abgebildet werden. Meiner Meinung nach ist das $\begin{eqnarray} f^{-1}(X) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}}^{} \left[ \, -\frac{\pi}{2}+2k\pi \, , \, \frac{\pi}{2}+2k\pi \, \right] \end{eqnarray}$
05.11.2004, 12:11	Sinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort!! Was bedeutet denn dieses große U, wo k€Z drunter steht?? Kenne ich noch gar nicht.. Und ich hatte auch gar nicht gedacht, dass der 2. Teil der Aufgabe mit dem Urbild so kompliziert ist und verstehe auch gar nicht, wie du da auf das Ergebnis gekommen bist.. Ich habe noch 2 weitere Fälle, sind die dann auch falsch? (dieselbe Aufgabenstellung) 1. f(x) = sin x, X = {0} - da ist meine Urbildmenge = {0} 2. f(x) = x², X = (0,1] -> ist das eigentlich ein Tipfehler des Professors mit den verschiedenen Klammern?? - jedenfalls ist hier meine Urbildmenge = [0,1]. Stimmt das?? Sinchen
05.11.2004, 12:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
1. ist nicht richtig. Bei der Urbildmenge mußt du fragen: Welche Urbilder erzeugen bei Anwendung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die 0? Zwar ist $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ , aber ebenso ist $\begin{eqnarray} f(-3\pi)=0 \end{eqnarray}$ . Daher gehören sowohl $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} -3\pi \end{eqnarray}$ zum Urbild von $\begin{eqnarray} X=\{0\} \end{eqnarray}$ . Und das sind beileibe noch nicht alle Urbilder ... 2. Die runde Klammer sagt, daß die $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ nicht mehr zum Intervall gehört, die eckige Klammer sagt, daß die $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ zum Intervall gehört. Auch hier mußt du wieder fragen: Welche Urbilder fallen bei Anwendung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ins Intervall $\begin{eqnarray} (0,1] \end{eqnarray}$ ? Wir probieren: $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ (nicht im Intervall, gerade nicht mehr), daher gehört die $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ nicht zum Urbild. $\begin{eqnarray} f(-1)=1 \end{eqnarray}$ (im Intervall, gerade noch), daher gehört die $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ zum Urbild. $\begin{eqnarray} f(3,5)=12,25 \end{eqnarray}$ (nicht im Intervall), daher gehört die 3,5 nicht zum Urbild. $\begin{eqnarray} f(-0,8)=0,64 \end{eqnarray}$ (im Intervall), daher gehört die $\begin{eqnarray} -0,8 \end{eqnarray}$ zum Urbild. Ich denke, diese Beispiele zeigen dir, welche Menge jetzt letztlich das Urbild von $\begin{eqnarray} (0,1] \end{eqnarray}$ ist.
07.11.2004, 07:39	Sinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Intervall.. Hallo Leopold, so im Grunde, denke ich, dass ich es verstanden habe. Aber wo ich nicht hinter komme, sind deine Beispiele ganz am Ende. Wenn mein Intervall X = (0,1] ist, wie können dann X= -1 und X= -0,8 im Intervall sein? Liebe Grüße und danke schon mal für ne Antwort!! Sinchen
07.11.2004, 11:24	Henning	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intervall.. Hallo Sinchen, also ich glaube wir sitzen im gleichen Kurs kann das sein, Mathe an der Humboldt? 1. Semester? Naja also zu deiner Frage. Bei der Letzten Aufgabe geht es ja um f(x)=x(hoch)2 0<x</=1 ( meine x ist größer 0 und kleiner gleich 1, war doch so oder? für die x-werte kann die funktion die y-werte zwischen größer 0 und kleiner/gleich 1 annehmen. beispiel : f(x)=x² f(0,1)=0,01 f(0,5)=0.25 f(1) = 1 die inverse Abbildung zu f(x)=x² ist g(x)=wurzel aus x. Dies bedeutet wenn du nun die Urbildmenge von X suchst, überlegst du dir, wenn 0<y(kleiner/gleich)1 ist, für welche x-werte kriegt man die werte y=0,1 oder 0,5 oder 1 bei y=0,1 kann der x-wert entweder 0,3612... oder auch -0,3612 sein, denn beider zahlen ergeben wenn man sie in f(x) einsetzt den y-wert 0,1 bei y=1 überlegst du dir nun halt für welche werte von x f(x)=1 ist, das ist natürlich 1 und -1 naja deshalb liegt die Urbildmenge halt nicht im Intervall von ]0,1] sondern in [-1,1]\(0) in Worten: Die Urbildmenge liegt im Intervall von -1 bis 1 , außer der 0. Ich hoffe du hast verstanden was ich dir sagen wollte. Übrigens habe ich dir auch ne Email geschrieben, kannst ja mal schauen. Henning
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