Relationen und speziell ÄR |
| 04.11.2004, 21:36 | Eli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Relationen und speziell ÄR ich glaube inzw. grunds. verstanden zu haben was Relationen sind. Teilmengen aus einem kartesischen Produkt (meist binäre, also 2-tupel). Da heisst es aber zb, dass a R b eine kurzschreibweise für (a,b) € A ist. Gleichzeitg heisst aber wäre das R sowas wie ein Platzhalte für ">,<,=". Wo käme, dass aber wieder in der ausfürhlichen Schreibweise vor? Und grunds. gibts ja Relation, Relatinsbedingung etc... was meint man dann genau wenn man nur "Relation" sagt? z.b. die relation "= mod (n)" wäre eine äquivalenzrelation. Also scheinbar hab ichs wohl doch noch nicht ganz 100% verstanden 
.Zudem wäre ich um ein GANZ konkretes bsp mit Mengen aus Zahlen dankbar in dem eine Äquivalenzrelation bewiesen wird und hervorgeht was das dann mit Partition/Aquivalzenklassen zu tun hat. Es heisst ja eine ÄR zerlegt in mehrere klassen/mengen (?) aber ich dachte das wäre eine Menge (Relation = (eine) teilmenge aus kart. produkt). Ich weiß viele wünsche auf einmal. Vielleicht erbarmt sich mir ja jemand
.Gruß eli |
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| 04.11.2004, 23:32 | slyck | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also eigentlich ist a R b eine Kurzschreibweise für Also < auf den reelen Zahlen: Und eine Relation allgemein ist einfach eine Menge von Tupeln. Wenn diese Tupel bestimmt Eigenschaften erfüllen, gibt man der Relation manchmal bestimmte Namen - so wie Äquivalenzrelation (die ist reflexiv, symmetrisch, transitiv). Bsp: A = {1,2,3,4,5} R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)} R ist offensichtlich reflexiv (alle Tupel (a,a) sind drin für a aus A) symmetrisch (einzig "interessant": (1,2) und (2,1) sind drin, (3,4) und (4,3) sind drin) transitiv (das ist nachrechnen, es gibt keine "interessanten" Fälle) Es gibt jetzt die folgenden Äquivalenzklassen: [1] = [2] = {1,2} [3]=[4] = {3,4} [5] = {5} Jede Äquivalenzklasse ist ein Teilmenge von A und enthält genau die Elemente, die von R in Beziehung gesetzt werden. Klarer?
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| 04.11.2004, 23:58 | Eli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was beduetet das mit dem < davor dann im gegensatz zum obigen? sieht irgendwie schräg aus
und wo ist da dann genau die relationsbedingung oder fehlt die hier? wiegesagt wäre umn vollst. bsp dankbar wos auch ausfürhlich geschrieben is
ps: auf den rest versuch ich morgen einzugehen |
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| 05.11.2004, 10:34 | slyck | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also < ist in dem Fall einfach der Name der Relation. Und das sieht nur komisch aus für uns, weil wir es so nicht benutzen, sondern immer a < b schreiben ... Die Funktionsdefinition ist in dieser Schreibweise natürlich noch gar nicht enthalten. Z.B für < auf den natürlichen Zahlen könnte das so aussehen: Und mein Beispiel ist doch ein vollständiges Beispiel. (na gut, ich hab den Typ der Relation nicht angegeben, also noch
Ich habe halt keine Relationsbedingung, sondern die explizite Definition der Relation R aufgeschrieben als Tupel.)mod(n) an sich ist erstmal keine Äquivalenzrelation, sondern nur eine Funktion. Man kann aber den Kern dieser Funktion bilden, dieser ist dann eine Äquivalenzrelation. Der Kern sind all die Paare, die auf den selben Wert abgebildet werden. Also z.B. für mod2: (2,4) ist ein Element im Kern von mod2 Die Relation sieht dann so aus: |
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| 05.11.2004, 10:35 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Eli, hier steht einiges zur mod-Äquivalenzrelation. Vielleicht kannst du es vervollständigen? Gruß vom Ben |
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| 05.11.2004, 15:58 | Eli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
könntest noch zeigen wie mans hier für transitiv beweisen/nachrechnen würde?
die klassen hab ich jetzt net ganz verstanden... die dinger in den [] sind also klassen und wonach geht da genau, warum sage ich, dass {1,2} eine klasse ist bzw die klasse 1 und 2 ? |
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| 05.11.2004, 16:45 | Eli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah und wie sähe die bedingung aus damit sowas {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)} überhaupt rauskommt?*g* |
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| 05.11.2004, 18:02 | pumuckl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Definition von Äquivalenzklassen folgt unmittelbar aus den Eigenschaften der Äquivalenzrelation, [1] ist die Menge aller Zahlen, die in Relation zu 1 stehen, 1 selbst gehört natürlich mit dazu, da 1 R 1 (bzw. in anderer Schreibweise außerdem gehört 2 noch mit dazu, da 2 R 1. Man könnte die Äquivalenzrelation z.B. nennen "genauso toll". Dann gilt in dem Beispiel: 1 ist genauso toll wie 1 (reflexivität), 2 ist genauso toll wie 2 1 ist genauso toll wie 2 und 2 ist genauso toll wie 1 (Symmetrie) usw. mit der Ausdrucksweise ist [1] die Menge aller Zahlen die genauso toll sind wie 1. Nämlich 1 und 2, also [1] = {1,2}. Und was so toll ist wie 1 ist auch so toll wie 2, deshalb [1] = [2] Die bekannteste Äquivalenzrelation ist natürlich die Gleichheit: a=a gilt natürlich, und wenn a=b dann b=a und wenn a=b und b=c dann a=c (in der langen schreibweise hieße das natürlich nicht a=b sondern ) "=" ist einfach der Name der Relation bzw. das Symbol dafür, weils doch recht oft benutzt wird
Andere Äquivalenzrelationen sind die oben genannte "mod n = mod n"-Relation als Teilmenge von |N x |N. für n = 3 gibts da die drei Äquivalenzklassen [0] = {Menge aller n für die n:3 den Rest 0 hat} [1] = {das gleiche mit Rest 1} [2] = {2,5,8,...} Ein weiteres Beispiel ist die Betragsgleichheit. Die Äquivalenzklassen beinhalten dort alle jeweil zwei Elemente (a und -a), bis auf eine, die 0... Die > -Relation ist natürlich keine Äquivalenzrelation, da aus 2>1 nicht 1>2 folgt... |
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