lineare Unabhängigkeit

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Michi Böhm Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Unabhängigkeit
Hi,
ich habe wiedermal ein Problem...bei dem ich irgendwie alleine nicht
weiterkomme und dringend einen Tipp brauche:

Sie f_n (n aus N) erklärt durch:
f_n: R-->R x-->sin(2^(-n)*x)

Zeige: f_n ist linear unabhängig.

Nun gut, f_n ist eine Familie von Funktionen, aber eigentlich in dem Fall
eine Familie von Vektoren in V, die genau dann linear abhängig ist, wenn
es eine Familie (x_n) von Skalaren gibt, so dass:

0 = Summe (x_n*f_n)

wobei mind. ein x_n ungleich 0 sein muss.
Die Umkehrung davon, die ich brauche, ist dann also:
..fuer jede Familie (x_n) von Skalaren (x_n) mit
Summe (x_n*f_n) = 0
gilt x_n=0 für alle n.

Der zusätzlich Hinweis zu dem Beispiel lautet:
Für n>1 haben die Funktionen f_1,...,f_(n-1) eine gemeinsame Nullstelle, die keine Nullstelle von f_n ist.

Was soll das heißen, wie kann ich das verwenden?
was ich probiert hab, hat mir sehr wenig geholfen, aber ich schreibs trotzdem mal auf, dass mir vielleicht einer sagen kann, wo mein Irrtum liegt:

zum Bsp. bei
n=3 haben f_1,f_2 und f_3 einige gemeinsame
Nullstelle - das heißt doch sie sind linear abhängig...oder?
nun gut und das kann ich unendlich weit treiben und bekomme
daher lineare Ahängigkeit heraus,
denn die Summe von 1 bis 3 : x_1*0+x_2*0+x_3*0 --> linear abhängig
..was ja dem, was ich zeigen soll widerspricht. Wo liegt hier mein Fehler?
Eigentlich dürften sie ja keine, oder zumind. nicht alle eine gemeinsame
0-Stelle haben, oder?? Könnte mir da jemand weiterhelfen - wäre echt
nett...danke!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt in der Tat für jedes nachweisen, daß aus der Relation



folgt, daß alle Skalare Null sein müssen.

Die Gleichung stellt eine Gleichheit von Funktionen fest. Rechts steht ja nicht eigentlich die Zahl 0, sondern die Nullfunktion. Funktionen sind aber gleich, wenn sie in Definitions- und Bildbereich übereinstimmen und für alle Eingaben denselben Wert liefern. Die Gleichung muß also auch dann gelten, wenn du für spezielle Werte einsetzt, dann als Gleichung zwischen reellen Zahlen.

Und der Trick ist nun, daß man einsetzt:



Für alle außer für ist das Argument der Sinusfunktion ein ganzzahliges Vielfaches von , der Sinus davon also 0. Und für ist das Argument , der Sinus davon also 1. Damit reduziert sich die Gleichung auf:



Damit haben wir den letzten Skalar als Null erkannt, und die ursprüngliche Gleichung kann jetzt so geschrieben werden:



ist also durch ersetzt. Es ist klar, wie das jetzt weitergeht: In dieser Gleichung setzen wir jetzt ein und finden mit denselben Argumenten wie eben heraus:



Und so hangeln wir uns immer weiter nach unten, bis wir schließlich auch noch



herausbekommen.

Das ist also so eine Art Induktion nach unten. Im Prinzip ist man nach dem ersten Schritt schon fertig. Denn was hat man gezeigt?
Wenn gilt, muß sein, und es gilt . Und diese Tatsache wendet man dann auf erneut an, bis man unten angekommen ist.
Michi Böhm Auf diesen Beitrag antworten »

WOW! Danke!
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