Polynomfit für 2D-Verteilung von Zufallsvariablen |
| 05.11.2004, 00:35 | Idefix | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Polynomfit für 2D-Verteilung von Zufallsvariablen Ich habe da mal 'ne Frage, die - nach meiner bescheidenen Meinung - in dieses Forum passen könnte ... Also, nehmen wir einmal an ... ich betrachte eine 2D-Verteilung zufälliger Prozesse und jeder Prozess generiert bekanntermaßen 'Werte' entsprechend einer Poisson-Statistik. Wenn man nun weiterhin annimmt, dass die Mittelwerte dieser Poisson-Prozesse _nicht_ unabhängig voneinander sind, in der Art, dass sich die 'örtliche' Verteilung dieser Mittelwerte hinreichend genau durch z.B. ein Polynom n-ter Ordnung approximieren lässt, wie sollte man dann vorgehen, wenn man die freien Parameter dieses Polynoms aus nur _einer_ Realisierung des gesamten Zufallsexperiments (damit meine ich, jeder Prozess generiert genau einen Wert) schätzen möchte. Ich bin für jeden Tip dankbar ... ? Liebe Grüße P. |
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| 05.11.2004, 23:28 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Polynomfit für 2D-Verteilung von Zufallsvariablen Hallo Idefix, ich weiß nicht, wie es den anderen geht, aber ich hab noch nicht so genau verstanden, was du machen willst... 
Was meinst du mit 2D-Verteilung? Einfach die Verteilung visualisiert in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem? Wie genau willst du das mit dem Polynom machen? Willst du da einen Index der Poisson-Prozesse eingeben und als Funktionswert soll der Mittelwert des entsprechenden Poisson-Prozesses rauskommen? Eine Schätzung, die nur von einem (!) Wert auf den Mittelwert des entsprechenden Prozesses schliessen möchte, ist natürlich äusserst ungenau. Das wirst du wohl auch durch eine grosse Anzahl an Prozessen nicht abfangen können, da die Mittelwerte ja nicht dieselben sein müssen. Vielleicht erklärst du auch noch ein bisschen das "Drumherum", vielleicht können wir dann etwas besser modellieren?! Gruß vom Ben |
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| 26.11.2004, 00:45 | Idefix | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Polynomfit für 2D-Verteilung von Zufallsvariablen Hallo Ben, schon mal vielen Dank dafür, dass du dich der Frage angenommen hast. Das konkrete Problem ist eine Fragestellung in der Nuklearmedizin an der ich gerade arbeite und ich fürchte, das ich einfach zu weit ausholen müsste, um es im Detail zu erläutern. Deshalb hier ein ausmeiner Sicht passendes, wenn auch vereinfachtes Analogon: Stell' Dir z.B. ein mit einer Digitalkamera aufgenommenes Bild vor, welches sich aus n x m Pixeln zusammensetzt. Selbst wenn das aufgenommene Objekt völlig homogen ist (konstanter Grauwert), und ich alle technischen Randbedingungen (gleichmäßige Beleuchtung, etc.) optimal einrichten kann ... bei einer Analyse der Aufnahme werde ich eine (vermutlich Gauss-verteilte) Schwankung der Pixelwerte finden, einfach weil der beobachtete Prozess (Anzahl der einfallenden Photonen pro Zeiteinheit) statistischer Natur ist. Betrachtet man nur den CCD-Chip in der Kamera, aus dem ich - von Zeit zu Zeit - Werte auslese, dann habe ich ... eine (räumlich angeordnete) Anzahl von n x m statistisch nicht unabhängigen Zufallsgeneratoren. Für den Fall, dass ich das o.g. homogene Objekt abbilde, reicht - durch das zusätzliche a priori Wissen, das alle Pixelwerte nur unterschiedliche Realisierung statistischer Prozesses mit gleichem Erwartungswert darstellen - eine einzige Aufnahme aus, um aus den m x n Einzelwerten gerade diesen einen Erwartungswert zu schätzen. Wenn ich in diesem Modell Gauss- gegen Poisson-Verteilung austausche und wenn das abgebildete Objekt nun Pixelwerte verursacht, deren Erwartungswerte nun nicht mehr konstant sondern eben 'gutmütig' ortsabhängig sind (d.h. dass ich die Erwartungswertverteilung - wenn ich sie denn kennen würde - mit ausreichender Genauigkeit durch ein 2D-Polynom geringer Ordnung beschreiben kann.), dann bin ich etwa da, worauf ich hinaus wollte. Wenn wir die Ordnung des Polynoms als bekannt voraussetzen, dann sollte sich doch auch hier eine Schätzung der Polynomparameter aufgrund der Gesamtbeobachtung durchführen lassen ... so zumindest meine Vorstellung. Es müsste sich doch eine Art Likelyhood-Funktion angeben lassen, die beschreibt, wie gut eine Parameterschätzung zu der Beobachtung passt und die man dann entsprechend optimieren kann ... So, ich hoffe, das macht das Problem klarer ... Sorry, das ich mich nicht etwas kürzer fassen konnte. Ich arbeite daran ;-) Gruß P. |
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