Rekursion

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06.11.2004, 00:05	Anaiwa	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursion Hat hier jemand für mich nen Ansatz vielleicht? Die Rekursion $\begin{eqnarray} a_{n+1}=R_na_n, a_0 > 0, \end{eqnarray}$ beschreibt die Entwicklung einer Population unter sich verändernden Umweltbedingungen. Hier bei ist $\begin{eqnarray} R_n > 0 \end{eqnarray}$ der Wachstumsparameter in der n-ten Generation. 1) Zeige $\begin{eqnarray} a_{n+1}=(R^o_n)^na_0, \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} R^o_n=(R_n...R_1)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ das geometrische Mittel der $\begin{eqnarray} R_1,...,R_n \end{eqnarray}$ ist.
06.11.2004, 00:10	eule	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursion Schreit meiner Meinung nach, nach Induktion. edit: und ist tatsächlich damit lösbar Du hast Dich noch nicht besonders lange mit der Aufgabe beschäftigt, oder?
06.11.2004, 00:40	Anaiwa	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch aber bestimmt noch nicht kang genug, nun ist die frage, was ich benutze muss also ich bi bis jetzt soweit: Es sei $\begin{eqnarray} R_n > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R_n \neq 0 \end{eqnarray}$ dann gilt $\begin{eqnarray} a_{a+1}=(R^o)^na_0 \end{eqnarray}$ IA: $\begin{eqnarray} a_n=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R^o_na_n=((R_n...R_1)^{\frac{1}{n}})^na_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R^o_n1=((R_n...R_1)^{\frac{1}{n}})^n1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R^o_n=((R_n...R_1)^n)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ Wurzel n un Hoch n hebt sich auf $\begin{eqnarray} R^o_n=(R_n...R_1) \end{eqnarray*}$ Was zu beweisen war: IS: ... He das überarbeitet schein plausibler zu sien. Leig ich bis dato richtig?
06.11.2004, 00:56	eule	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein ausführlichster Beweis seit langem. Definition der Folge: $\begin{eqnarray} a_{n+1}=a_nR_n ,a_0>0 \end{eqnarray}$ Definition von $\begin{eqnarray} R_n^{\circ} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R_n^{\circ}=(R_1...R_n)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ zu zeigende Formel (ZZF): $\begin{eqnarray} a_{n+1}= (R_n^{\circ})^na_0 \end{eqnarray}$ IA: wähle n=1 $\begin{eqnarray} a_1=a_0R_1 \end{eqnarray}$ nach Definition der Folge. $\begin{eqnarray} a_0R_1=a_0(R_1)^{\frac{1}{1}} \end{eqnarray}$ Äquvivalente Umformung $\begin{eqnarray} a_0(R_1)^{\frac{1}{1}}=a_0R_1^{\circ} \end{eqnarray}$ Nach Definition von $\begin{eqnarray} R_n^{\circ} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_0R_1^{\circ}=a_0(R_1^{\circ})^1 \end{eqnarray}$ Äquvivalente Umformung Nun ist aber $\begin{eqnarray} a_0(R_1^{\circ})^1 \end{eqnarray}$ genau ZZF für n=1. Nun folgt der IS $\begin{eqnarray} a_{n+1}=a_nR_n \end{eqnarray}$ nach Definition der Folge. $\begin{eqnarray} a_nR_n=a_0(R_{n-1}^{\circ})^ {n-1}R_n \end{eqnarray}$ Induktionsschluß!!!! Es gilt ja $\begin{eqnarray} a_n=a_0(R_{n-1}^{\circ})^ {n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_0(R_{n-1}^{\circ})^ {n-1}R_n=a_0((R_{n-1}...R_1)^{\frac{1}{n-1}})^{n-1}R_n \end{eqnarray}$ nach Definition von $\begin{eqnarray} R_n^{\circ} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_0((R_{n-1}...R_1)^{\frac{1}{n-1}})^{n-1}R_n=a_0(R_{n-1}...R_1)R_n \end{eqnarray}$ Äquvivalente Umformung $\begin{eqnarray} a_0(R_{n-1}...R_1)R_n=a_0(R_nR_{n-1}...R_1) \end{eqnarray}$ Äquvivalente Umformung (in die Klammer hineinziehen) $\begin{eqnarray} a_0(R_n...R_1)=a_0((R_n...R_1)^{\frac{1}{n}})^n \end{eqnarray}$ Äquvivalente Umformung $\begin{eqnarray} a_0((R_n...R_1)^{\frac{1}{n}})^n=a_0(R_n^\circ)^n \end{eqnarray}$ nach Definition von $\begin{eqnarray} R_n^{\circ} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_0(R_n^\circ)^n \end{eqnarray}$ ist aber genau ZZF $\begin{eqnarray} Q.E.D. \end{eqnarray}$ edit: Der Beweis hier stimmt. Juhu, nach 38 Änderungen und läppischen 5 Stunden sind wir den Beweis bis in die kleinste Einzelheit durchgeangen. Bitte beachtet die Uhrzeit. Bin schon ziemlich am Boden
06.11.2004, 00:59	Anaiwa	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh schau mal jetzt hab, kurz vor deinem Post meinen Revidiert. Du hast den alten noch ^^. Und deine schoene Gleichung kann ich leider nicht sehn! da du einen Fehle hast. Du hast da sos choen geschreiben;: $\begin{eqnarray} a_1=a_0R_1=a_0(R_1)^\frac{1}{1} \end{eqnarray}$ Muss das net heissen: $\begin{eqnarray} a_1=a_0R_1=a_0(R^o_1)^\frac{1}{1} \end{eqnarray}$ Du ich weiss nicht, wie du auf den Therm kommst! $\begin{eqnarray} a_1=a_0R_1=a_0(R_1)^\frac{1}{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_0(R_1)^\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$ edit: Dreifachpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion!!! (MSS)
06.11.2004, 01:28	eule	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist schon richtig so. IA: $\begin{eqnarray} a_1=a_0R_1 \end{eqnarray}$ nach Definition der Folge. $\begin{eqnarray} a_1=a_0R_1=a_0(R_1)^{\frac{1}{1}} \end{eqnarray}$ äquvivalente Umformung dadurch hat der Term eine Form dass er der Definition von $\begin{eqnarray} R_n^0 \end{eqnarray}$ entspricht und ich kann also $\begin{eqnarray} R_1^0 \end{eqnarray}$ statt dem Term einsetzen. $\begin{eqnarray} a_0R_1^{0}=a_0(R_1^{0})^1 \end{eqnarray}$ äquvivalente Umformung $\begin{eqnarray} a_0(R_1^{0})^1 \end{eqnarray}$ entspricht aber genau der Definiton der zu zeigenden explizieten Formel (an der Stelle $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ ). Ich mach Klammern rum (kann ich immer) und nimms dann hoch 1. Steht ja dann noch immer das selbe da wie vorher nur das es auch optisch der Rekursionsformel entspricht. Witzig das ist ja schon fast ein Gespräch in Echtzeit. edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion!!! (MSS)
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06.11.2004, 01:36	Anaiwa	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} R^o_n=(R_n...R_1)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ das steht da für Kringel R und du setzt $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ ein in die Form, das versteh ich nicht. Mit der äquivalenten Umformung kann ich nichts anfangen, weil ich nicht weiß wie du das gemacht hast. Währ nett wenn dus schrit für schritt mir zeigen könntest.
06.11.2004, 01:42	eule	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, mach ich doch gerne^^.
06.11.2004, 04:34	Anaiwa	Auf diesen Beitrag antworten »
So damit du noch durchhältst hier nevennarung und etwas zum und nen und knudde für die müh
06.11.2004, 12:49	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hätte das so gemacht, nur ob das als Beweis zählen würde? a(1) = R(0) * a(0) a(2) = R(1) * a(1) a(3) = R(2) * a(2) usw. bis a(n) = R(n-1) * a(n-1) a(n+1) = R(n) * a(n) Jetzt die linken und rechte Seiten miteinander multipliziert, ergibt a(1)a(2)a(3)...a(n)a(n+1) = R(0)R(1)R(2)...R(n-1)R(n)a(0)a(1)a(2)...a(n-1)a(n) Jetzt kann man auf beiden Seiten die gleichen Faktoren a(1) bis a(n) wegkürzen, so dass bleibt a(n+1) = R(0)R(1)R(2)...R(n-1)R(n)a(0) Das wird verglichen mit der Vorgabe a(n+1) = R0(n)^n a(0) und man erhält R0(n) = [R(0)R(1)R(2)...R(n-1)R(n)]^(1/n), also das geometrische Mittel
08.11.2004, 21:03	Anaiwa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat hier jemand für mich nen Ansatz vielleicht? Die Rekursion $\begin{eqnarray} a_{n+1}=R_na_n, a_0 > 0, \end{eqnarray}$ beschreibt die Entwicklung einer Population unter sich verändernden Umweltbedingungen. Hier bei ist $\begin{eqnarray} R_n > 0 \end{eqnarray}$ der Wachstumsparameter in der n-ten Generation. 1) Zeige $\begin{eqnarray} a_{n+1}=(R^o_n)^na_0, \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} R^o_n=(R_n...R_1)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ das geometrische Mittel der $\begin{eqnarray} R_1,...,R_n \end{eqnarray}$ ist. Die war ja schon erledigt, aber was soll das bitte heissen, finde nicht die wachstumszahl. Sei $\begin{eqnarray} R_1=0,2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R_2=2,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R_3=0,3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R_4=0,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R_5=5 \end{eqnarray}$ . Ist die Population in der sechsten Generation gegenüber $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ gewachsen, geschrumpft, oder gleichgeblieben. begründen sie ihre antwort.

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