Oberflächenberechnung mithilfe von Determinanten

25.03.2007, 13:59

integralschokolade

Oberflächenberechnung mithilfe von Determinanten

Es ist möglich, ein Volumenelement eines Körpers durch die Determinante einer Jacobi-Matrix zu berechnen. Kann man auch
so ähnlich das Oberflächenelement eines Körpers mithilfe von irgendwelchen Determinanten von Matrizen berechnen?

Die Oberfläche berechnet sich eigentlich mit dieser Formel:
$\begin{eqnarray*} A_{O} = \frac{dV}{dr} \end{eqnarray*}$

Kann man das dann of die Jacobi-Matrix anwenden?

25.03.2007, 15:08

integralschokolade

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wie kann ich denn Oberflächen mittels Determinanten berechnen? verwirrt

25.03.2007, 16:40

phi

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Ja kannst du !

Und zwar über die sog. Gramsche- oder Gaußsche- Matrix, die einfach die Wurzel aus dem Produkt der Jacobimatrix mit deren transponierten Matrix ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{B}~\sqrt{Dx(u) \cdot Dx^T(u)} ~du \end{eqnarray*}$

B ist die Grundfläche (Intervall mal Intervall) über die wir integrieren wollen.
u die parametrisierung
im einfachsten Fall wäre du=dx dy

(evt. mit entsprechender Parametrisierung)

mfg, phi smile

25.03.2007, 17:51

integralschokolade

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Bravo!!!

Du hast mir sehr geholfen!
Das brauche ich unbedingt in der Physik!

25.03.2007, 18:03

phi

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Mit Parametrisierung hast schon zu tun gehabt, nehm ich an ?

25.03.2007, 18:08

integralschokolade

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Ich weiß, was Parametrisierung ist: Einfach nur z.B. x durch die
Variablen r, phi und theta ersetzen!

Aber was bedeutet deine Schreibweise:
$\begin{eqnarray*} Dx(u) \end{eqnarray*}$
Was meinst du mit dem großen D? Soll das etwa Determinante von der
Jacobi-Matrix x(u) bedeuten? Oder was ist das?

25.03.2007, 18:23

phi

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Dx(u) ist die Jacobi-Matrix selbst. Aber gut dass du noch mal fragst ( Hammer

)

Ich hab vergessen "det" vor dem Matrixprodukt zu schreiben: richtig ist es:

$\begin{eqnarray*} \int_{B}~\sqrt{det (Dx(u) \cdot Dx^T(u))} ~du \end{eqnarray*}$

Man nennt

$\begin{eqnarray*} g:=det G(u):= det (Dx(u) \cdot Dx^T(u)) \end{eqnarray*}$

die Gramsche Determinante

25.03.2007, 18:25

phi

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Zitat:

Original von phi
Dx(u) ist die Jacobi-Matrix selbst. Aber gut dass du noch mal fragst ( Hammer