Ableitungen

06.11.2004, 14:21

matze2002

Ableitungen

kann mir vlt jmd helfen?
Ich soll davon die Ableitung bestimmen....

$\begin{eqnarray*} x(t)= c * t^{n} \end{eqnarray*}$

kann man das t nicht umschreiben als (t+deltat)^n und dann mit dem binomischen lehrsatz versuchen ne lösung zu finden... habe da aber ein problem da delta t ja gleich null ist, meistens jedenfalls wird der term im ganzen ja auch gleich null, habe ich jetzt irgendwas übersehen oder denke ich irgendwie falsch.... würd mich über eine hilfe sehr freuen!

mfg und danke matze

06.11.2004, 14:33

BraiNFrosT

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Wie korrekt (im mathematischen Sinne) soll es denn sein ?

Du könntest denn binomischen Lehrsatz benutzen und
nur den ersten Teil betrachten. Der Rest wird vernachlässigbar klein.

Falls das nicht reicht kannst du den Binomialkoeffizienten
benutzen.

(Mir fällt kein leichterer Weg ein, was bestimmt nicht
heisst das es keinen gibt : )

Edit : Rechtschreibfehler beseitigt (ein paar jdfls.)

06.11.2004, 14:42

aRo

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entweder versteh ich hier was total falsch, oder die ableitung deiner funktion ist ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} c*n*t^{n-1} \end{eqnarray*}$

gruß,
aRo

edit: latex-Code verbessert, das im Exponenten muss in geschweifte Klammern Augenzwinkern

(MSS)

06.11.2004, 14:49

BraiNFrosT

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Ja, das Ergebniss passt. Aber dann beweis mal das das richtig ist.

Ps.: Alles was in den Exponenten soll in geschweifte Klammern
schreiben

z.B.: e^{2x} = $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$

06.11.2004, 15:36

aRo

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danke für den tipp brainfrost.

also wir haben dass vor paar monaten mit der h-methode bewiesen, wenn ich mich nicht täusche. ich könnte das mal versuchen, aber weiß nicht, ob ich das noch heut schaff oder so.

@matze2002: sagt dir denn die h-methode was?

gruß,
aRo

06.11.2004, 15:49

etzwane

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Sagt dir denn das etwas:

Ableitung = [x(t+delta-t) - x(t)]/delta-t

Wenn ja dann ist x(t) = c*t^n

und x(t+delta-t) = c*(t+delta-t)^n =c*[t^n+n*t^(n-1)*delta-t + ... weitere Glieder mit delta-t^2 usw.]

Setz das mal oben ein und lass delta-t gegen Null gehen, was kommt raus ?

06.11.2004, 15:58

karl_k0ch

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Die Ableitung eines Monoms findet sich ja im Tafelwerk...

Einen schönen Beweis brauchen wir trotzdem. Augenzwinkern

Wie haltet ihr's denn mit der Vollständigen Induktion?

Induktionsanfang n=1 ist klar.

Induktionsschritt: n -> n+1 ist auch nicht schwer wenn man die Produktregel auf $\begin{eqnarray*} t^{n+1} = t^n * t \end{eqnarray*}$ anwendet, wenn man die denn benutzen darf.

06.11.2004, 18:14

BraiNFrosT

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Zitat:

Original von etzwane
*t^(n-1)*delta-t + ... weitere Glieder mit delta-t^2 usw.]

Jap, und meine Frage war, ob dieser Teil mit ... nicht
vielleicht zu ungenau ist.

@karl_k0ch
Was hasst du vor mit vollständiger Induktion zu zeigen ??

06.11.2004, 19:55

etzwane

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rechnen wir also mal weiter (mit delta_t anstelle von delta-t):

x(t+delta_t) = c*(t+delta_t)^n =c*[t^n + n*t^(n-1)*delta_t + (n über 2)*t^(n-2)*delta_t^2 + (n über 3)*t^(n-3)*delta_t^3 + ...usw.]

und mit x(t) = c*t^n folgt

x(t+delta_t) - x(t) = c*[ n*t^(n-1)*delta_t + (n über 2)*t^(n-2)*delta_t^2 + (n über 3)*t^(n-3)*delta_t^3 + ...usw.]

und jetzt dividiert durch delta_t folgt

[x(t+delt_t) - x(t)]/delta_t = c*[n*t^(n-1) + (n über 2)*t^(n-2)*delta_t + (n über 3)*t^(n-3)*delta_t^2 + ...usw.]

und lässt man jetzt delta_t gegen 0 streben bzw. setzt es gleich 0, so fallen recht in der Klammer die Summanden mit delta_t weg und es bleibt

Ableitung = c*n*t^(n-1).

Solltest du immer noch Zweifel an der Genauigkeit haben, setze auf der rechten Seite für delta_t einfach mal 1/100, 1/1000, 1/1000000 usw. ein, nimm noch weitere Summanden dazu, und beurteile mal die Genauigkeit aus praktischer Sicht.

06.11.2004, 20:25

BraiNFrosT

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Lies dir meine Beiträge lieber ersteinmal durch bevor du
mir etwas über genauigkeit erzählst...... In meinem ersten
stand etwas von "vernachlässigbar klein".

07.11.2004, 00:33

Teutone

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$\begin{eqnarray*} f'(t)=\lim_{h \to 0} \frac{c(t+h)^{n}-ct^{n}}{h}= \end{eqnarray*}$
Differenzenquotienten aufstellen
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{c((t+h)^{n}-t^{n})}{h}= \end{eqnarray*}$
Bissel Umformen
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{c*(\sum_{i=0}^n~(\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} *t^{n-i}*h^{i})- t^{n})}{h}= \end{eqnarray*}$
Das $\begin{eqnarray*} -t^{n} \end{eqnarray*}$ beseitigen --> erster Summand fällt weg
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{c*(\sum_{i=1}^n~(\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} *t^{n-i}*h^{i}))}{h}= \end{eqnarray*}$
h kürzen
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} c*(\sum_{i=1}^n~(\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} *t^{n-i}*h^{i-1}))= \end{eqnarray*}$
h gegen 0 gehen lassen --> nur erster Summand bleibt übrig
$\begin{eqnarray*} c*\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix} *t^{n-1})= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} cn*t^{n-1} \end{eqnarray*}$

07.11.2004, 17:29

matze2002

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RE: Ableitungen
danke jungs habt mir echt geholfen
vielen dank!

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