vektorraum über endl. Körper |
| 06.11.2004, 17:31 | Danny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| vektorraum über endl. Körper Wie kann ich zeigen, dass in einem n-dimensionaler VR über einem endlichen Körper K (die Mächtigkeit von K=q), die Anzahl der Vektoren q^n ist?? Was mir dazu einfällt: Ein n-dimensionaler Vektorraum hat eine Basis von n-Vektoren...gut. a=a_1*m1+....+a_n*m_n aber wie mache ich weiter...ich habe überhaupt keine Idee wie ich davon auf Anzahl der Vektoren ist gleich Mächtigkeit des Körpers hoch der Dimension komme, und bitte daher um Hilfe! Danke! |
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| 06.11.2004, 19:04 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay ich frage mal so: woher kannst du denn deine koeffizeinten nehmen, die du für die linearkombinationen der vektoren 8aus den basiselementen m1 bis mn) benutzt? welche verschiedene linearkombinationsmöglichkeiten hast du somit? überlege dir das in ruhe und dann kommst du sicher drauf...... mfg jochen |
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| 07.11.2004, 11:52 | Danny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, mir ist schon klar, dass die Koeffizienten aus K kommen, dass ich also maximal q verschiedene Elemente haben kann, aber was ist, wenn zum bsp. n>q ist und ich somit einige Elemente aus K mehrmals verwenden muss oder wen n<q ist, dann kann ich ja nicht alle Elemente aus K verwenden, aber ich kann ja auch jedesmal das gleiche Element als Koeff. verwenden...ich habe wirklich keine Ahnung wie man das zeigen kann oder wie ich da auf q^n kommen könnte! |
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| 07.11.2004, 12:07 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und alle vektoren aus V sind solche linearkombinationen aus den m1-mn und du weißt, 2 vektoren a und b sind gleich, wenn (a1,...,an) und (b1,...,bn) komponentenweise gleich sind, sie sind unterschiedlich, wenn sie sich an mindestens einer stelle unterscheiden. also ist die anzahl der mögl. linearkombinatioen die anzahl der möglichen n-tupel aus elementen aus K. und jetzt überleg weiter.... WIE VIELE SOLCHE TUPEL GIBT ES? mfg jochen |
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| 07.11.2004, 13:59 | Danny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun gut, es gibt mal die Möglichkeit, dass alle Koeff. gleich sind, das heißt a_1=a_2=...=a_n - das sind mal k verschiedene Vektoren Dann gibt es die Möglichkeit, dass einer anders ist und alle anderen gleich sind: a_1=/=allen anderen Koeff. da gibt es k-1 Möglichkeiten. (k-1)*k=k^2-k Nein tut mir leid, aber ich habe keine Ahnung wie ich das anpacken soll, auch wenn das vielleicht leicht ist, aber ich steh voll auf der Leitung! |
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| 07.11.2004, 21:59 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nagut, ich mach's noch mal gaaaaanz deutlich: ich frage mal ganz konkret? wieviele möglichkeiten hast du für a1? q, okay? wieviele möglichkeiten hast du für a2? auch q, denn die wahl von a2 ist ja von a1 völlig unabhängig! wieviele mögl. hast du dann für die 2-tupel (a1,a2)? also das kannst du mir auf jeden fall sagen! so, wenn du das hast, dann hast du die lösung für dimension n=2; und dann überlege dir das für n=3, n=4 und dann für beliebige n; ich mache dir mal noch ein beispiel: q=2 (0 und 1), n=2 es gibt 4 mögliche 2-tupel: (0,0), (1,0), (0,1) (1,1)
was ist eigentlich k?! mfg jochen |
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| 07.11.2004, 22:36 | Danny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok...sorry, ich versteh schon! Danke... |
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| 07.11.2004, 23:32 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
musst dich doch nicht entschuldigen, schön, dass du es jetzt evrstanden hast! dann poste doch deine genaue erklärung noch, das interessiert sicher noch andere! mfg jochen |
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