Beweis von Surjektivität + Superposition

06.11.2004, 21:56	Henning	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Surjektivität + Superposition Hallo ich bin einer derjenigen die dieses jahr mit dem Mathestudium begonnen haben. Nun habe ich die ersten Übungen vor mir zu liegen und bin fast am verzweifeln. Ist ja doch alles ein wenig schwieriger in der Schule. Also meine Aufgabe sagt, das die Abbildung f von X nach Y abbildet, und die Abb. g von Y nach Z. Nun sollen folgende Behauptung entweder bewiesen oder wiederlegt werden. a) Wenn f und g surjektiv sind, so ist auch g * f surjektiv b) Wenn g * f injuktiv ist, so ist auch f injektiv. Nur mal als Beispiel. Natürlich sind da noch ein paar andere Aussagen. Die Definition und Bedeutung von Surjektivität, Injektivität und Bijektivität habe ich schon verstanden, doch mit dem Beweisen tu ich mich noch ein wenig schwer, also diese Definitionen dann noch mit den Superpositionen ( Verkettungen ) in einen Zusammenhang zu stellen. Wenn mir vielleicht jemand den Anfang erklärt, hoffe ich meine restlichen Aufgaben alleine rechnen zu können. Henning Also, ich sitze immer noch an dieser einen aufgabe und würde mich freuen, wenn mir jemand von euch mal ein Beispiel vorrechnen könnte. Henning edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte unterlasse solche "Pushposts"! Danke! (MSS)
06.11.2004, 23:36	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Bitte unterlasse solche "Pushposts"! Soll das ein Malzeichen sein, also * oder ein Verknüpfungszeichen, also ° ?? Ich nehm mal an, du meinst "°". Versuch doch mal, die Definitionen anzuwenden. Nimm bei b) an, f wäre nicht injektiv und führe dann die Aussage zu einem Widerspruch! Bei a) kannst du es direkt machen!
07.11.2004, 07:43	Sinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Surjektivität + Superposition Hallo Henning, ich habe auch mit meinem Mathestudium angefangen und genau die gleichen Aufgaben bekommen!! Wo studierst du? De Injektivität lässt sich ganz gut beweisen/widerlegen, wenn du die Definition mit dazunimmst: x_1 = x_2 -> f(x_1) = f(x_2). Lässt sich ganz gut machen. Aber bei der Surjektivität hörts dann bei mir auch auf :-( Muss mich heute damit auch noch beschäftigen, weil ich die Übungen morgen abgeben muss. Kann mich ja noch mal hier melden, wenn ich eine Wahnsinnserkenntnis habe ;-) Viele Grüße! Ich muss jetzt zu einem Blockseminar (ja, ja, am Sonntag!!) Sinchen
07.11.2004, 14:49	Henning	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein größtes Problem liegt, daran dass ich solche Beweise noch nie gemacht habe und ich muss das ganze bis morgen abgeben. Es sind halt mehrere Aufgaben. Wenn mir jemand eine mal vorrechnet hoffe ich das Prinzip zu verstehen und dass dann auf die anderen anwenden zu können. Also bei a zum Beispiel, mir sagt das gar nichts wenn du sagst ich soll das direkt beweisen . Verstehe einfach nicht wie das klappen soll? Also wenn f und g surjektiv sind, ist dann auch g°f surjektiv. Aus der Überlegung, dass f surjektiv ist, also jeder Wert aus Y einem Wert aus X zugeordnet wird, und da g jedem Element aus Z ein Element aus Y zuordnet. ist es für mich einleuchtend, dass g°f auch surjektiv sein muss. Reicht dass schon aus? Kann ich mir eigentlich nicht vorstellen, deshalb würde ich gerne wissen wie so etwas dann aufgeschrieben werden soll. Henning
07.11.2004, 19:53	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Sinchen Was du da aufgeschrieben hast, also das mit $\begin{eqnarray} x_1=x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray}$ gilt für jede Funktion, denn sonst wäre es keine Funktion. Überleg dir das mal. Die Definition von Injektivität beinhaltet dagegen die andere Richtung: $\begin{eqnarray} f\ \mbox{ist injektiv}\ \Leftrightarrow\ \left(f(x_1)=f(x_2)\ \Rightarrow\ x_1=x_2\right) \end{eqnarray}$ @Henning Doch, das reicht aus!! Nur noch auch wirklich auf das Schließen, was du haben willst. g ist surjektiv, also gibt es zu jedem $\begin{eqnarray} z\in Z \end{eqnarray}$ mind. ein $\begin{eqnarray} y\in Y \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} g(y)=z \end{eqnarray}$ . Da f auch surjektiv ist, gibt es zu jedem $\begin{eqnarray} y\in Y \end{eqnarray}$ mind. ein $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ . Also gibt es insgesamt zu jedem $\begin{eqnarray} z\in Z \end{eqnarray}$ mind. ein $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} g(f(x))=z \end{eqnarray}$ . Fertig! Bei b). Schreib so wie du es eben bei a) auch gemacht hast, erstmal auf, was das bedeutet, dass g°f injektiv an. Nimm an, f sei nicht injektiv und leite einen Widerspruch her!

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