satz von levi - lebesgue intequal

07.11.2004, 12:27	Wetterfee	Auf diesen Beitrag antworten »
satz von levi - lebesgue intequal hi leute, ich habe hier ein paar verständnisfragen die mir kopfschmerzen bereiten .. 1. zum satz von levi: -Ist jede funktion, die auf einer offenen menge definiert ist und beschränkt ist, dort auch integrierbar ? -Sei $\begin{eqnarray} (\alpha k) \end{eqnarray}$ (k ist der index von alpha)eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktionen, für die ein $\begin{eqnarray} M\in\mathbb R \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~(\alpha k)~dx > M \end{eqnarray}$ Ist dann die punktweise Grenzfunktion $\begin{eqnarray} a=\lim_{k \to inf} (\alpha k) \end{eqnarray}$ integrierbar ???? 2. etwas zum Lebesgue integral: - Wenn f und g integrierbare Funktionen sind, ist so auch jede Linearkombination von f und g integrierbar? - Ist jede beschränkte Lebesgue-integrierbare Funktion Riemann-integrierbar ? ...wär toll, wenn mir jemand nen paar tipps geben könnte . . Vielen danq im Voraus . ..
07.11.2004, 21:43	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
1.1 ist interessant und kann von mir nicht spontan beantwortet werden. Ähm, Zusatz: Soll die offene Menge vielleicht auch noch beschränkt sein? Sonst wähle ich die offene Menge $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , die konstante Funktion 1 und habe sofort ein Gegenbeispiel, denn die 1 ist auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sicher nicht L-integrierbar, aber trivialerweise beschränkt. 1.2 sieht mir, wenn du beim Integral statt > in Wirklichkeit < meinst, wie eine direkte Anwendung von Beppo Levi aus, ich sehe also nicht, was da noch zu zeigen wäre. Aber möglicherweise habt ihr ja eine andere Formulierung, vielleicht kannst du uns diese mal hier aufschreiben. 2.1 Ja, L(I) ist ein Funktionenraum auf I und das L-Integral ist ein linearer Operator auf L(I). 2.2 Nein, betrachte zum Beispiel die charakteristische Funktion von $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ , auch Dirichletsche Funktion genannt: sie ist bekanntermaßen auf keinem Intervall R-integrierbar (sie ist überall unstetig, also ist die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen auf einem Intervall keine Nullmenge (ein Intervall ist nie eine Nullmenge), also ist sie nicht R-integrierbar), jedoch sogar über ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ L-integrierbar und sie ist trivialerweise durch 0 und 1 beschränkt.
09.11.2004, 18:32	schnitzelchen	Auf diesen Beitrag antworten »
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