kompakte Mengen

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TomBombadil Auf diesen Beitrag antworten »
kompakte Mengen
Hi!

Wozu benötigt man den Begriff der kompakten Mengen. Wir haben Kompaktheit so kennengelernt:

(M,d) metrischer Raum

Dann heißt die Teilmenge A kompakt (in M), wenn jede Folge aus A eine Teilfolge besitzt, die konvergiert mit einem Grenzwert in A.

Was bedeutet diese Definition anschaulich. Welche Eigenschaften bringt das alles mit sich.


P.S. Im Netz stehen nur Definitionen mit "endlicher Überdeckung". Damit kann ich aber so gar nix anfangen. Hammer

Danke

Tom
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, wenn man Kompaktheit auf betrachtet, dann sind genau die Teilmengen kompakt, die abgeschlossen und beschränkt sind. Wäre die Teilmenge nicht beschränkt, so könnte eine Folge divergent (nämlich mit "Grenzwert" +/- unendlich) in dieser Menge sein, was nicht erlaubt ist.

Abgeschlossen bedeutet, dass die Menge vereinigt mit der zu ihr gehörigen Menge der Häufungspunkte die Menge selber ist.

(1,2) ist z.B. nicht abgeschlossen, weil die Menge der Häufungspunkte [1,2] ist und (1,2) u [1,2] = [1,2] != (1,2).
TomBombadil Auf diesen Beitrag antworten »

aha.

Irgendwie hilft mir das nicht. Was meinst du mit abgeschlossen UND beschränkt. Ich meine sollte eine abgeschlossene Menge in R nicht sowieso beschränkt sein. Und irgendwie habe ich immer noch keine Vorstellung darüber was kompakt nun für eine eigenschaft ist.

verwirrt

trotzdem danke

tom
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

ist auch abgeschlossen, denn



Die reellen Zahlen sind allerdings nicht beschränkt.

So richtig "anschaulich" wird man diese Definition wahrscheinlich nie verstehen.

Du weisst ja wahrscheinlich, dass jede konvergente Folge mindestens einen Häufungspunkt besitzt. Die Menge ist nun kompkat, wenn jeder Häufungspunkt, der auftreten kann in der Menge selber liegt. Das ist bei (0,1) nicht der Fall, denn 1 ist HP der Menge aber kein Element. Die abgeschlossene Hülle von (0,1) ist [0,1]. Hier findest du keinen HP, der nicht in der Menge liegt. Deshalb kann auch keine in der Menge [0,1] konvergente Teilfolge ihren Grenzwert nicht in [0,1] liegen haben.

.. ich hoffe das hilft, denn mehr fällt mir nicht ein. smile
LeereMenge Auf diesen Beitrag antworten »

Die sache mit der endlichen überdeckeung lässt sich so beschreiben. angenommen du befindest dich iin R und betrachtest die menge [0,1]. dann laesst sich diese menge durch teilintervalle z.B [0,0.5] und (0.5,1] abdecken. wenn du jedoch die nichtkompakte menge [0,1) betrachtest, laesst diese sich nicht durch endlich viele teilintervalle abbilden, da z.B. [0,0.5] u (0,5.0.9999..) das intervall [0,1) nicht komplett abdeckt, da immer ein wert (intervallgrenze + epsilon) existiert, der ebenfalls element vo [0,1) ist, aber auserhalb der vereinigung der teilitervalle liegt. daher wird eine vereinigung unendlich vieler teilintervalle benötigt, so dass die vereinigung im grenzwert das intervall [0,1) umfasst.
Tut mir leid, aber ich bin unfähig es besser zu erklären. ich hoffe es ist wenigstens ansatzweise klargeworden.
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