Frage zu Permutationen

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Rufo Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Permutationen
Hi hab ne frage zu ner aufgabe mit Permutationen
und zwar
Betrachten sie die folgenden Permutationen in der






(1) Schreiben sie die vier Perm. in Zyklenschreibweise (wie macht man das?)
(2) Bestimmen sie jeweils das Signum der
(3) Bestimmen sie folgende Produkte in der : ( Frage wie multipliziert man solche Permutationen??)
(4) Bestimmen sie die Inversen der

Und dann hab ich noch eine Aufgabe bei der unser Übungsleiter meint sowas würde man normal erst im 3.Semester machen:

- Es sei (G,*) eine Gruppe. EIne Untergruppe HG heisst ein Normlateiler, wenn für jedes hEH und jedes g E G das Produkt mal h mal g wieder in H liegt. Zeige die Aussage:
(a)In einer kommutativen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler
(b)Für eine lichtleere Teilmenge N untermenge G gilt : N ist genau dann ein Normalteiler in G, wenn es eine Gruppe H und einen Hormophismus f: G-->H mit Kern(f) = N gibt
So wie muss ich nun an so eine Aufgabe rangehen?

Gruss Rufo
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann Dir nur zu (2) und (3) was sagen, aber immerhin:

zu (2)
Das Signum einer Permutation ist 1, wenn die Anzahl der Fehlstände gerade ist und -1, wenn sie ungerade ist. Jetzt heißt es also Fehlstände zählen. Ein Fehlstand ist ein Paar (i, j) mit i > j und f (i) < f (j).

Ich mach Dir mal den Anfang für vor:

6 > 1 (obere Zeile) 5 > 3 (zugehörige Werte der unteren Zeile) also f (6) > f (1) => kein Fehlstand
6 > 2 (obere Zeile) 5 > 1 (zugehörige Werte der unteren Zeile) also f (6) > f (2) => kein Fehlstand
so machst Du jetzt weiter und wirst dann bei 6 > 5 (obere Zeile) aber 5 < 6 (zugehörige Werte der unteren Zeile) den ersten Fehlstand feststellen.
Danach geht's mit der 5 weiter:
5 > 1 (obere Zeile) 6 > 3 (zugehörige Werte der unteren Zeile) => kein Fehlstand
5 > 2 usw. usw. bis 5 > 4. Bei der 5 gibt's keinen Fehlstand.
Dann kommt die 4, dann die 3 und zum Schluss noch 2 > 1 aber 1 < 3 => Fehlstand.
Ich komme bei insgesamt auf 3 Fehlstände, wenn ich mich nicht verzählt habe. Da diese Anzahl ungerade ist gilt: .

zu (3)

Den Kringel kenne ich als Komposition, also als Verknüpfung der Permutationen (bin nicht sicher, ob das dem entspricht, was bei Euch als Produkt bezeichnet ist).
Die Verknüpfung geht so: Kringel bedeutet, dass Du die beiden Permutationen nebeneinander schreibst und im Ergebnis kannst Du auch schonmal die obere Zeile von 1 bis 6 notieren. Jetzt schaust Du bei der rechten P. auf die 1. Der 1 ist die 3 zugeordnet also gehst Du in der linken P. zur 3 in der oberen Zeile und siehst, ihr ist die 2 zugeordnet. Diese zwei kommt nun ins Ergebnis unter die 1, denn wir hatten ja bei der 1 in der rechten P. angefanden.

Jetzt gehst Du zur 2 in der rechten P. und wirst auf dem selben Weg rausbekommen, dass unter der 2 im Ergebnis eine 3 stehen muss.

Alles klar?

Gruß Poldi
 
 
Rufo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Poldi hast mir sehr weiter geholfen, die 2 und 3 konnte ich lösen.
Freude
Blos kann mir noch jmd sagen wie man die inverse ausrechnet und die Permutationen in zyklenschreibweise darstellt?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Inversen: Da musst du doch "nur" die Permutation finden, so dass die Hintereinanderausführung die Identität ergibt. Wenn in deiner Permutation die 1 auf die 3 abgebildet wird, worauf muss dann in der Inversen die 3 abgebildet werden?

Zykelschreibweise: Wenn ich mich recht erinnere, musst du da "Abbildungs-Ketten" bilden, bis du wieder beim ursprünglichen Element ankommst. Weiß gerade nicht recht, wie ich das eloquent erklären kann, deswegen die 1. als Beispiel: (1 3 2) (4) (5 6)


Gruß vom Ben
Rufo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Ben konnte die Aufgaben ohne weitere Probleme lösen, im Gegenteil, ich muss sagen wenn man das einmal richtig erklärt bekommt ist das nicht mehr wirklich schwer Freude

Könntest du mir vielleicht noch was zur anderen Aufgabe sagen? wie zeigt man eine solche Aussage?
Gruss Rufo
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Zyklenschreibweise (und weiter unten im Strang).
Rufo Auf diesen Beitrag antworten »

danke, dein Link hat mir nochmal bestätigt das ich das mit den permutationen richtig kapiert hab. Hab bei den Aufgaben keine Probleme mehr gehabt

Bleibt nur noch die andere Aufgabe bei der ich nochmal ne Brücke brauch. Wär echt nett wenn mir da nochmal jmd was drüber sagen könnt
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