Extremwertaufgaben - absolutes Maximum/minimum?? |
| 07.11.2004, 18:01 | kiwi | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Extremwertaufgaben - absolutes Maximum/minimum?? Ich schreibe morgen Mathe (ja ich weiß...reichlich frühe Überlegung :roll: ) aber ich bräuchte ganz dringend Hilfe. Mit den Extremwertaufgaben komme ich an sich einigermaßen klar. Neuerdings haben wir dann jedoch immer noch untersucht, ob das errechnete Maximum / Minimum auch das absolute ist. Das habe ich irgendwie nicht verstanden. Wir haben dann immer nochmal x "in" der Zielfunktion gegen + unendlich laufen lassen. Plus, weil es wahrscheinlich keine negativen Strecken, Flächen etc gibt, aber warum unendlich? Dann hatten wir noch ein beispiel, bei dem die Summe zweier Zahlen, deren Produkt 8 ergibt, möglichst klein sein soll. Das hab ich eigentlich verstanden, dann haben wir wieder die Zielfunktion gegen unendlich, also z.B. S = x + y (wenn x gegen unendlich, mus y ja gegen Null) Dann die Nebenbedingung: 8 = x * y (wenn x gegen unendlich, dann muss y diesmal gegen eins) Diese beiden Aussagen finde ich an sich logisch, aber warum weiß man dann, dass es sich bei dem vorher errechneten Wert auch um das absolute Maximum handelt?? :? :? |
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| 08.11.2004, 23:15 | DanielS | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Extremwertaufgaben - absolutes Maximum/minimum?? Nun, in dem man die Ableitung der Zielfunktion auf Nullstellen prüft, findet man ja nur _lokale_ Maxima. Also muss man zunächst überprüfen, ob es nicht weitere Maxima gibt, die evtl. größer sind. Hat man auf diese Weise das größte lokale Maximum gefunden, muss man noch schauen, ob die Funktion nicht doch gegen unendlich strebt. z.B. Maximumsuche: Die Funktion hat bei x=0 ein lok. Maximum. x=0 scheint also Lösung zu sein, denn x=0 ist das einzige Maximum. Betrachtet man aber den Verlauf der Funktion ins Unendliche, sieht man, dass die Funktionswerte gegen unendlich streben, also noch viel größer als 0 werden. Diese Funktionswerte lassen sich nicht mit Extremasuche erfassen, deshalb diese Überprüfung. |
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| 17.04.2005, 18:12 | Annik | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hab folgenden Text im Inet dazu gefunden (hab nämlich dieselbe Frage): Beachte die Ränder des Definitionsbereichs. Bei Schulaufgaben selten, aber in der Praxis denkbar ist, daß zwar im Definitionsbereich ein lokales Extremum vorliegt, aber die Zielfunktion ihr absolutes Extremum am Rand des Definitionsbereichs annimmt. Diese Werte findet man i.d.R. nicht durch Differenzieren. Die Ränder müssen gesondert geprüft werden: durch Einsetzen der Randwerte in die Zielfunktion und Vergleich des Funktionswertes mit dem lokalen Extremum. Mir ist trotzdem noch was unklar: 1. Da steht "bei Schulaufgaben selten, aber in der Praxis denkbar". Heißt das, dass es von Aufgabe zu Aufgabe verschieden sein kann? Oder wird es bei Schulaufgaben nur einfach nicht verlangt, das zu überprüfen? Woran erkennt man, ob man es überprüfen muss? 2. Woher weiß man denn, was die Intervallgrenzen sind, die man nochmal überprüfen muss?? Bei einigen Beispielen ist klar, dass das Ergebnis > 0 sein muss, z.B. beim Volumen einer Schachtel etc. Damit hätte man schonmal die kleinere Intervallgrenze. Aber was ich mit der größeren Intervallgrenze? 3. Nochmal das Beispiel Schachtel: Wenn ich jetzt weiß, dass das Ergebnis > 0 sein muss, muss ich dann 0 einsetzen oder einen Wert >0, den ich mir ausdenke, z.B. 0,1? 4. Unser Lehrer hat uns extra nochmal gesagt, dass wir die Randwerte prüfen sollen in der Abiklausur, also wird wohl eine Aufgabe drankommen, bei der das nötig ist. Kann mal jemand ein Beispiel (Anwendungsaufgabe) nennen, um das deutlich zu machen? Möglichst mit Erklärung, wie man auf Intervallgrenzen kommt? |
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| 18.04.2005, 11:48 | Annik | Auf diesen Beitrag antworten » |
*push* Ist wirkilch wichtig u. dringend! Wäre nett, wenn jemand ne Antwort auf meine Fragen weiß! 
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| 18.04.2005, 12:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn die Aufgabenstellung nach dem aboluten Extremum gefragt, müssen auch die Ränder des Definitionsbereichs der Funktion geprüft werden. Soweit klar? Der Definitionsbereich ist entweder explizit vorgegeben oder ergibt sich aus der Aufgabe (z.B. bei Aufgabe mit maximalen Volumina). Ansonsten ist es der maximal mögliche Bereich. Ist zum Beispiel ein Intervall [a; b] vorgegeben und existiert ein lokales Maximum xe mit a < xe < b, dann muß man (wie gesagt) auch die Ränder prüfen. Man berechnet also f(xe) und zusätzlich f(a) und f(b). Von diesen drei Werten bildet man das Maximum und hat dann das absolute Maximum. Schau dir das mal an dem Beispiel f(x) = x³ - 3x und den Intervallen [-1,5; 1,5] und [-3; 3] an. |
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| 18.04.2005, 12:57 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wichtig was die Intervallgrenzen angeht ist die Frage ob der Rand im betrachteten Intervall mit drin ist. |
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| 18.04.2005, 13:19 | Annik | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nehmen wir mal ne normale Textaufgabe, in der die Intervallgrenzen nicht vorgegeben sind: Ein Draht der Länge 20 cm soll eine recheckige Fläche mit maximalem Flächeninhalt umrahmen. Berechnen Sie die Länge der Recheckseiten! So, natürlich kommt heraus, dass der maximale Flächeninhalt sich bei a=b=5 ergibt (also ein Quadrat), der Flächeninhalt wäre A=25. Wären die Intervallgrenzen nun a>0 (denn wenn a=0, ergäbe sich kein Rechteck) und a<20 (denn wenn a=20 ergäbe sich wieder kein Rechteck, da b dann =0 wäre)? Darf ich mir dann Zahlen fürs Einsetzen aussuchen, z.B. 0,01 und 19,99? |
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| 18.04.2005, 13:25 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » |
Erstmal ist die rechte Grenze a < 10. Du hast also 0 < a < 10. Bei offenen Intervallen muß man den Grenzwert bilden, also f(x) für a gegen 0 bzw. a gegen 10. |
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| 18.04.2005, 14:18 | Annik | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt, es sind doch 10 (weil a und b da gleich groß sind und sonst ja a und b quasi die Plätze tauschen würden...). Aber was meinst du jetzt mit "a gegen 0"? Was gebe ich jetzt konkret als Grenze ein, ich muss ja ne Zahl eingeben in die Zielfunktion und einen Wert berechnen. 0,0001 bzw. 9,999? |
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| 18.04.2005, 14:23 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es handelt sich um den Grenzwert . Da deine Zielfunktion stetig ist, darfst du auch a = 0 bzw. a = 10 direkt einsetzen. Bei einer Funktion wie f(x) = 1/x würde das nicht gehen. Hier ist der Grenzwert für x gegen Null unendlich (wenn man von rechts kommt, also positive x betrachtet). Das heißt, diese Funktion hätte auf dem Intervall (0; 10) kein absolutes Maximum. |
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