Matrizen

07.11.2004, 19:29

Neuling

Matrizen

Nochmal kurze Frage. Ich habe eine 3x3 Matrize A und an eine 3x3 Matrize B gegeben. Gesucht ist die entsprechende Matrize 3x3 Matrize, so dass SA=B gilt. Kann mir jemand bei der LÖsung dieser Aufgabe helfen!!Habe schon einiges versucht, aber so ganz den richtigen Weg noch nicht gefunden.... Hilfe

07.11.2004, 20:49

NurMalKurzVorbeisurfend

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Lösung der Matrizengleichung
geg.: Matrizen A, B
ges.: Matrix S mit SA=B

Lösung: Umstellen der Matrizengleichung nach S.

Weg: Rechtsseitige Multiplikation mit der Inversen von A.

Man erhält: $\begin{eqnarray*} SAA^{-1} = BA^{-1} \end{eqnarray*}$
Und da $\begin{eqnarray*} AA^{-1} \end{eqnarray*}$ = E (Einheitsmatrix) und die Multiplikation mit der Einheitsmatrix immer die ursprüngliche Matrix ergibt (neutrales Element des Matrizenrings bzgl. der Multiplikation), folgt:

$\begin{eqnarray*} S = BA^{-1} \end{eqnarray*}$

Wie konkret gehst Du nun vor?

Du invertierst die Matrix A.
Du multiplizierst B mit dem Inversen von A. Vorsicht: Matrizenmultiplikation i.a. nicht kommutativ!

Bei Matrizen gilt (wie bei so viele Dingen....): Alles nicht weiter schwer, aber üben, üben, üben. Dann machts auch Spaß!

- Johannes

08.11.2004, 09:56

JochenX

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hallo,

aber, wenn nun A nicht invertierbar ist?
dann hilft wohl nur ein LGS nach den 9 gesuchten Matrixkomponenten [sehr aufwändig, erst johannes' ansatz versuchen];
dabei hast du 9 unbekannte und 9 gleichungen [für jedes "feld" von B hast du eine gleichung, also z.b. b11=a11*s11+a12*b21+a13*s31, mit gegeben b und as).
dieses verfahren kannst du insbesondere auch anwenden, wenn du keine quadratischen matrizen hast.....

mfg jochen

08.11.2004, 18:21

NochmalKurzAmVorbeisurfen

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Wenn A nicht invertierbar ist, dann gibt es keine Lösung. Das wäre dann genau so als frage man nach dem Wert von x in 0 · x = 5. ;-)

08.11.2004, 19:09

Neuling noch ne frage

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So, nach dem Schema 2 habe ich jetzt was passendes für einige meiner Aufgaben herausbekommen. Danke erst mal.
Aber was ich dann noch gerne wissen möchte, wie kann ich den die inverse Matrix berechnen?
Und dann habe ich noch eine Aufgabe, da klappt es mit dem oben genannten Schema irgendwie nicht.
Aufgabe ist folgende:

A=
-1 4 -1
1 3 1
1 -2 0

B=
2 1 4
0 0 -7
4 5 3

Berechnen soll ich M, so dass gilt: MA=B.

Wäre super, wenn ihr mir noch einmal helfen könntet!!!

08.11.2004, 21:52

JochenX

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Zitat:

Wenn A nicht invertierbar ist, dann gibt es keine Lösung. Das wäre dann genau so als frage man nach dem Wert von x in 0 · x = 5. ;-)

ohje, habe ich da wiederzuviel geredet, bevor ich nachgedacht habe???!
aber ganz stimmen kann die aussage nicht.....

auf jeden fall lösbar ist das ganze zum beispiel, wenn A und B beide nicht invertierbar sind und z.b. 2A=B gilt.
lösung wäre dann die 2-fache Einheitsmatrix....

da fällt mir der Determinantenmultiplikationssatz ein, von dem her sollte das problem lösbar sein, wenn A und B invertierbar oder wenn beide NICHT invertierbar sind.
und dann funktioniert deine methode nicht, nurkurzamvorbeisurfen.
bitte korrigiere mich jemand, wenn ich da schon wieder unfug rede.....

Zitat:

Aber was ich dann noch gerne wissen möchte, wie kann ich den die inverse Matrix berechnen?

schau mal da:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=8301

da möchte jemand wissen, warum man das so macht und es wird ihm erklärt.... das mag dich nicht interessieren, aber ich erzähle auch kurz, wie es überhaupt geht......

mfg jochen

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