folgen

07.11.2004, 22:23

Bunny123

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folgen

hey leute ich soll die Folge (b_n) behandeln
sie ist durch rekusrion gegeben: b_1 :=1; b_n+1 für alle n \in \mathbb N
Ich sollte die ersten 6 glieder der folge aufschreiben. Bei mir kam raus:
b_1 = 1
b_2 = 3/2
b_3 = 2
b_4 = 5/2
b_5 = 3
b_6 = 7/2
Ist es richtig so?
DANN musste ich aber noch die allgemeine formel für die berechnung von b_n bestimmen und sie durch vollständige induktion beweisen. Das mit der vollständigen induktion ist nicht das problem, aber ich komme nicht darauf wie ich die allgemeine folge rausfinden soll.

07.11.2004, 22:28

Gustav

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Wie ist die Folge definiert? Das geht aus deiner obigen Äußerung nicht klar hervor.

07.11.2004, 22:30

Mathespezialschüler

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Du hast gar keine Rekursionsformel angegeben! Darf ich mal raten?

$\begin{eqnarray*} b_{n+1}=b_n+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Versuch doch mal z.B. bei $\begin{eqnarray*} b_7=b_6+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ solange einzusetzen, bis du nur noch $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ und Zahlen da stehen hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2004, 22:44

Gustav

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[edit]

Hier war nur Quatsch Big Laugh

Big Laugh

07.11.2004, 22:57

Mathespezialschüler

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@Gustav
Das ist falsch, nimm das bitte weg!!! Es ist doch eindeutig eine arithmetische und nicht geoemtrische Folge! Deine Formel (sowohl Summe als auch die Summenformel der geometrischen Summe) bringen schon ab dem 3. Folgenglied die falschen Werte!

07.11.2004, 23:36

Bunny123

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ich krieg das irgend wie mit dem editor nicht hin.
die folge (bn) $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist durch rekursion gegeben:
$\begin{eqnarray*} b_1 := 1; b_{n+1} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} b_n + 1 \end{eqnarray*}$ für alle n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

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08.11.2004, 09:07

Mathespezialschüler

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Und wie kommst du dann auf deine Folgenglieder? verwirrt

verwirrt

08.11.2004, 11:37

Jan

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Also mit dieser Rekursionsvorschrift sind die Formelglieder wirklich falsch. Richtigerweise müsstest du erhalten:

$\begin{eqnarray*} a_1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_3 = \frac{7}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_4 = \frac{15}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_5 = \frac{31}{16} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_6 = \frac{63}{32} \end{eqnarray*}$

usw.

Soweit ich weiß, gibt es (außer scharf-hingucken) keinen Weg, die allgemeine Formel herauszufinden. Hier ist der Nenner ja offensichtlich immer eine Zweierpotenz, und zwar offenbar $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ . Der Zähler ist die darüber-liegende Zweierpotenz, allerdings um 1 vermindert: $\begin{eqnarray*} 2^{n}-1 \end{eqnarray*}$ .

Damit erhält man (zunächst als zu beweisende Vermutung):

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{2^{n}-1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Der Beweis läuft (wie du ja schon gesagt hast) über vollständige Induktion und ist keine große Sache...

Grüße,

Jan

08.11.2004, 13:05

Bunny123

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hi, jan.
dankeschön für deine mitarbeit, aber wenn ich ehrlich sein soll, dann kann ich dir leider nur bis $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ folgen. Kannst du mir bitte erklären wie du auf die ergebnise anderer folgeglieder kammst

08.11.2004, 14:28

Jan nochmal

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Die Rekursionsvorschrift sagt dir doch, dass du jeweils das letzte Glied der Folge mit 1/2 multiplizieren und danach 1 addieren musst, um das nächste Glied zu erhalten.

Und genau das macht man hier:

z.B. um b_3 (vergiss einfach, dass das in meinem post alles den namen "a" hat smile

smile

) zu bekommen, rechnet man:

0,5*b_2 + 1 = 0,5*1,5 + 1 = 1,75 oder 7/4.

und das selbe spiel dann wieder und wieder und wieder...

oder ist vielleicht die von dir gepostete rekursionsvorschrift nicht die richtige??

ich meine diese:

b_n+1 := 1/2*b_n + 1

08.11.2004, 18:16

Bunny123

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hi jan, dankeschön, jetzt verstehe ich deine schritte. Ich hab es jetzt auch mit deiner $\begin{eqnarray*} b_n allgemeinformel ausprobiert \end{eqnarray*}$ , und komme leider nicht ganz bis zum schluss.
Beim induktionsschluss muss doch bei mir dasselbe ergebnis rauskommen wie am anfang nur mit einem wert mehr, also + 1 oder nicht?
Das hatte ich raus:
$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$
IA: sei n = 1
$\begin{eqnarray*} b_1 = \frac{2^1 - 1}{2{^1-1}}= 1/1=1 \end{eqnarray*}$
IV: $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{2^n -1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
IS: zu zeigen ist
$\begin{eqnarray*} b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_{n+1}= \frac{1}{2} * \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} + 1 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{2^n - 1}{4^{n-1}} + 1 \end{eqnarray*}$
weiter komme ich leider nicht. ich hab irgendwo einen fehler gemacht, komme aber nicht darauf wo.

08.11.2004, 18:29

Ben Sisko

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$\begin{eqnarray*} 2*2^{n--1} \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} 4^{n-1} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} 2^{n-1+1}=2^n \end{eqnarray*}$ . Und dann musst du noch weiterrechnen.

08.11.2004, 22:29

Bunny123

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also hätte ich dann
$\begin{eqnarray*} \frac{2^n -1 + 2^n}{2^n} \end{eqnarray*}$
DA ich ja alles auf den selben nenner bringen muss, deswegen dann mal
$\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{4^n - 1}{2^n} \end{eqnarray*}$
aber irgendwie habe ich hiermit nicht viel bewiesen oder?

09.11.2004, 00:13

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Bunny123
also hätte ich dann
$\begin{eqnarray*} \frac{2^n -1 + 2^n}{2^n} \end{eqnarray*}$
DA ich ja alles auf den selben nenner bringen muss, deswegen dann mal
$\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{4^n - 1}{2^n} \end{eqnarray*}$
aber irgendwie habe ich hiermit nicht viel bewiesen oder?

$\begin{eqnarray*} 2^n+2^n \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} 4^n \end{eqnarray*}$ . Da machst du ja denselben fehler schon wieder.

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{2^n -1 + 2^n}{2^n}=\frac{2\cdot2^n -1}{2^n}=\frac{2^{n+1} -1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Damit steht die Behauptung für (n+1) da und wir sind fertig smile

smile

Gruß vom Ben

09.11.2004, 08:15

Bunny123

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$\begin{eqnarray*} achso, aber ich dachte, dass 2* 2^n=2{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} was anderes sei, als 2^n + 2^n \end{eqnarray*}$

09.11.2004, 08:18

Bunny123

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sorry hab das falsch geschrieben, ich meinte warum kommt bei $\begin{eqnarray*} 2 * 2^n = 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ das selbe raus wie bei $\begin{eqnarray*} 2^n + 2^n = 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

09.11.2004, 09:02

klarsoweit

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weil nun mal allgemein gilt, dass a + a = 2 * a ist!!!

09.11.2004, 09:03

Jan

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na, einfach weil $\begin{eqnarray*} 2*2^{n} \end{eqnarray*}$ das selbe IST wie $\begin{eqnarray*} 2^{n}+2^{n} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} 2*a \end{eqnarray*}$ ist ja auch das selbe wie $\begin{eqnarray*} a+a \end{eqnarray*}$

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