Beweise für Arithmetik Übung

07.11.2004, 22:34	Töffi	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise für Arithmetik Übung Bin am Ende, hab den ganzen Tag gearbeitet und vergessen, dass wir morgen unsere Aufgaben für die Arithmetik Vorlesung abgeben müssen... Normalerweise brauch ich dafür total lange und fall gleich totmüde um. Das schaff ich nicht bis morgen.. Kann mir da jemand helfen? A1 Beweisen sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n element aus den natürlichen Zahlen gilt: 3 / (n^3 +2n) A2 Bestimmen sie alle Primzahlen p, für welche 4p+1 eine Quadratzahl ist. A3 Finden sie alle natürlichen Zahlen n element aus den natürlichen Zahlen, so dass n-9=p eine Primzahl ist und 10 / (n^2 -1) A4 Für alle Zahlen n element ausden natürlichen Zahlen gilt: 5 / (n^4+4)? Begründen Sie Ihre Aussage! A5 Zeigen Sie, dass die Summe n von zwei Kubikzahlen n=a^3+b^3, a,b element N, a>1 oder b>1 keine Primzahl ist.
07.11.2004, 23:03	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu A4: $\begin{eqnarray} n^4+4 = n^4 + 2\cdot n^2\cdot 2 + 4 - 2\cdot n^2\cdot 2 = (n^2 + 2)^2 - 2\cdot n^2\cdot 2 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2 = (n^2+2+2n)(n^2+2-2n) \end{eqnarray}$ Ist nun $\begin{eqnarray} n\equiv1(mod 2) \end{eqnarray}$ so ist $\begin{eqnarray} (n^2+2+2n)=(4k^2+4k+1)+2+4k+2=4k^2+8k+5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (n^2+2-2n)=(4k^2+4k+1)+2-4k-2=4k^2+1 = 4k^2 +4+1 -4 = 4(k^2-1)+5 \end{eqnarray}$ somit ist $\begin{eqnarray} (n^2+2+2n)(n^2+2-2n)\equiv 0(mod 5) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} n\equiv0(mod 2) \end{eqnarray}$ kannst du es nun selbst hinkriegen.
07.11.2004, 23:07	Julia_essen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das erste kann ich dir geben, das hab ich. (Auch Albrecht?) Induktionsverankerung: n=1 (n^3+2n) (1^3+21)=3 3/(n^3+2n) = 3/3 (richtig) Induktionsvoraussetzung: (n^3+2n) ist durch 3 teilbar Es existiert also ein mEN für das gilt n^3+2n=3m Induktions-keine Ahnung: n=n+1 (n+1)^3+2(n+1) (n^2+2n+1)(n+1)+2(n+1) n^3+2n^2+n+n^2+2n+1+2(n+1) n^3+2n (nach I.voraussetzung 3m)+3n^2+n+2n+3 3m+3n^2+3n+3 3(m+n^2+n+1) => ist durch 3 teilbar => 3/(n^2+2n) Hoffe ich konnte dir helfen. Gruß, Julia (aus der Übung donnerstags 8-10)
07.11.2004, 23:16	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
A2: Aus $\begin{eqnarray} 4p+1 = (2n+1)^2 = 8 \cdot \frac{n(n+1)}{2}+1 \end{eqnarray}$ folgt 2 \| p also p = 2 A3: Ist $\begin{eqnarray} n - 9 = p \end{eqnarray}$ und 10 \| $\begin{eqnarray} (9+p)^2-1 \end{eqnarray}$ so ist 10 ein Teiler von 80 + 18p + p² und damit 10 \| (p² - 2p) bzw. 10 \| (p-1)² - 1. Aus 2 \| (p-1)² - 1 folgt p = 2 und damit n = 11. A5: $\begin{eqnarray} a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \end{eqnarray}$ Dieser Term ist offensichtlicherweise nur dann eine Primzahl, wenn $\begin{eqnarray} (a^2-ab+b^2) = 1 \end{eqnarray}$ also wenn $\begin{eqnarray} (a-b)^2 = 1 - a\cdot b \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} (a-b)^2\geq0 \end{eqnarray}$ ist dies nur für a = b = 1 der Fall.

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