Positiv definit ohne symmetrisch

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petersilie Auf diesen Beitrag antworten »
Positiv definit ohne symmetrisch
Hat irgendwer ne Ahnung wie "positiv definitheit" einer Matrix ohne die Vorraussetzung symmetrisch zu verstehen ist?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich hoffe stark, dass ich hier jetzt um die uhrzeit nichts durcheinander bringe....... [öhm, komentar dazu: wollte dies ursprünglich gestern nacht posten, aber da war das bord irgendwie nicht einsatzbereit...]
ansonsten korrigiert mich, damit hier nichts falsches stehenbleibt.....


also eine Matrix ist dann positiv definit, wenn für alle Vektoren gilt:
v (transponiert) * A * v >0.

eine Matrix A ist positiv semidefinit, wenn für alle v gilt: v (transponiert) * A * v >=0
eine Matrix A ist negativ definit, wenn für alle v gilt: v (transponiert) * A * v <0
eine Matrix A ist positiv semidefinit, wenn für alle v gilt: v (transponiert) * A * v <=0

eine Matrix A ist indefinit, wenn ein Vektor v existiert, für den das obige Produkt größer 0 ist, und gleichzeitig ein Vektor w existiert, für den das obige Produkt kleiner 0 ist.


okay, da gabs auch noch irgendwas mit eigenwerten und der determinante:
mal schauen, ob ich das auch noch zusammen krieg:

determinante > 0 => definit; ist das erste feld (oben links, a11, wie auch immer) größer 0, dann pos. def., ist es kleiner 0 dann neg. def.
determinante < 0 => indefinit;
keine ahnung wie das bei det=0 aussieht, oder bei det>0 und erstes feld gleich 0. wer kann mir das sagen? [muss da ein bisschen an Hoch/Tiefpunkte denken, vermute also: jeweils keine aussage möglich].

ich glaube mich zu erinnern, dass pos. def. matrizen nur pos. eigenwerte haben und neg. def. matrizen nur negative.
aber ist das eine äquivalenz oder gilt nur die eine richtung?!

Hilft dir das weiter, petersilie?
mfg jochen
Anonymi Auf diesen Beitrag antworten »

>okay, da gabs auch noch irgendwas mit eigenwerten und der determinante:
>mal schauen, ob ich das auch noch zusammen krieg:

Nur fast.

>determinante > 0 => definit; ist das erste feld (oben links, a11, wie auch >immer) größer 0, dann pos. def., ist es kleiner 0 dann neg. def.
>determinante < 0 => indefinit;

Das ist falsch, nimm als Beispiel die 3x3 Matrix diag(1,-1,-1). Die Determinante ist 1>0, aber die Matrix ist indefinit. Das Determinantenkriterium muss für alle Untermatrizen gelten. Dann kann man diese Aussage treffen. (Gegenbeispiel für nicht symmetrische Matrix: matrix(3,3,[1,1.1,0,1,-1,0,0,0,-1]) in Maple Notation)

MFG Anonym
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