Quadratische Gleichungen

26.03.2007, 13:47

angelo

Quadratische Gleichungen

Hallo, ich habe mal eine Frage zur Mitternachtsformel wenn a z.b -3 ist ...

kommt dann unter dem Bruchstrich -6 ?

Meine Frage geht das , dass unter dem Bruchstrich ein - steht ?

26.03.2007, 13:56

klarsoweit

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RE: Quadratische Gleichungen

Zitat:

Original von angelo
Meine Frage geht das , dass unter dem Bruchstrich ein - steht ?

Natürlich geht das. Am besten zeigst du mal deine Rechnung.

26.03.2007, 14:05

angelo

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Hab grad keine Rechnung da war nur ne frage da ich morgen eine klasur schreibe smile

26.03.2007, 22:41

Bert

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Zitat:

Original von angelo
Hab grad keine Rechnung da war nur ne frage da ich morgen eine klasur schreibe smile

Hallo angelo.

Hier hast du ein Beispiel für die Mitternachtsformel.
Zu lösen ist eine quadratische Gleichung:
-3*x^2-4*x+4=0

also:
a=-3 b=-4 c=4

Diskriminante:
d=b*b-4a*c
d=(-4)*(-4)-4*(-3)*4=64
wurzel(d)=8

x1=(-b+wurzel(d))/(2*a)
x1=(-(-4)+8)/(2*(-3))
Erste Lösung: x1=-2

x2=(-b-wurzel(d))/(2*a)
x2=(-(-4)-8)/(2*(-3))
Zweite Lösung: x2=2/3

Für die Klausur wünsche ich dir viel Erfolg und auch das notwendige Glück! smile

29.03.2007, 09:30

11meterkönig

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Seit dieser Woche haben wir auch diese Aufgaben. Komme ganz gut mit. Aber bei einer Aufgabe hängt es etwas.

Bei dieser Aufgabe schreibe ich ja einfach weiter. (x+5)² = 36
x5 = +/- 36 und ziehe die Wurzel aus 36. Der Rest ist ja nur noch Formsache.

Aber bei dieser Aufgabe finde ich den Anfang nicht. Könnt ihr mir da helfen?

(2x - 1,5)² = 2,25
Hier ist das Problem die 2 in der Klammer. Ich kann ja unmöglich nä. Zeile so weiter schreiben. Also muss ich ja irgendwas ausrechnen, da ich hinter der Klammer hoch 2 habe. Wird da in der Klammer 2x oder 1,5 berechnet? verwirrt

29.03.2007, 09:53

Muon

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In deiner ersten Aufgabe stimmt dein Resultat 6 (=Wurzel aus 36) aber nicht. Denn 6+5 = 11 und 11^2 ist nicht 36.

Loese am besten zuerst das binom:
$\begin{eqnarray*} (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \end{eqnarray*}$
In deinem Beispiel ist a = x und b = 5
$\begin{eqnarray*} (x+5)^2 = x^2 + 10x + 25 \end{eqnarray*}$

Das nun minus 36 rechnen, da eine quadratische Gleichung gleich 0 sein soll:

$\begin{eqnarray*} x^2 + 10x - 11 \end{eqnarray*}$

Nun hast du eine quadratische Gleichung, die Diskriminante ist:

$\begin{eqnarray*} b^2 - 4ac \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 100 + 44 = 144 \end{eqnarray*}$

Da D positiv ist, gibt es zwei Loesungen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{-10+\sqrt{144}}{2} = \frac{-10+12}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{-10-\sqrt{144}}{2} = \frac{-10-12}{2} = -11 \end{eqnarray*}$

Einsetzen zeigt, dass beide Loesungen stimmen.

Bei deiner zweiten Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 4x^2 - 6x = 0 \end{eqnarray*}$

Das solltest du in der quadratischen Gleichung (siehe oben) einsetzen koennen und so das Resultat erhalten. (Zur Kontrolle: 1.5 und 0)

29.03.2007, 10:07

11meterkönig

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@Muon: Bei der 1. Aufgabe habe ich auch 1 und -11 raus gehabt. Aber wir rechnen die etwas anders bzw. so wie ich am besten rechnen kann. Wie gesagt, da sind unsere Ergebnisse identisch. Aber die 2. Aufgabe läßt sich sicher noch etwas einfacher rechnen?

29.03.2007, 13:21

Muon

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Die zweite Aufgabe kann auch ohne die Quadratische Gleichungsformel geloest werden:

Du hast $\begin{eqnarray*} (2x - 1,5)^2 = 2,25 \end{eqnarray*}$

Loese das Binom auf der linken Seite und rechne beide Seiten -2.25 - das gibt $\begin{eqnarray*} 4x^2 - 6x = 0 \end{eqnarray*}$

Das kannst du auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} x * (4x - 6) = 0 \end{eqnarray*}$

Und die Gleichung ist in zwei Faellen richtig:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 4x - 6 = 0 => x_2 = 1.5 \end{eqnarray*}$

Aber die quadratische Formel musst du bestimmt auswendig lernen, denn viele Aufgaben lassen sich nur so loesen. Auch praktisch ist, dass die Berechnung von "D" gleich sagt, wie viele reelle Loesungen es gibt: Ist D > 0 gibt es zwei, ist D = 0 eine und ist D < 0 dann keine reelle Loesung. (waere ja eine negative Wurzel)

23.04.2007, 01:50

11meterkönig

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Habe diese Aufgaben mal wieder geübt. Aber ich weis nicht mehr wie ich auf die 20,25 komme. Bei der anderen ist es die 12,25

x² - 11x +10= 0
x1,2= $\begin{eqnarray*} (-11:2)\pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}(-11:2)² -10 \end{eqnarray*}$
x1,2= $\begin{eqnarray*} 5,5\pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}20,25 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 5,5\pm \end{eqnarray*}$ 4,5

x1= 5,5 +4,5 =10
x2= 5,5 - 4,5 =1
-----------------------------------------------------------------
x² -17x +60= 0
x1,2= $\begin{eqnarray*} (-17:2)\pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}12,25 \end{eqnarray*}$
=8,5 + 3,5
x1= 5
x2= 12

23.04.2007, 08:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von 11meterkönig
x1,2= $\begin{eqnarray*} (-11:2)\pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}(-11:2)² -10 \end{eqnarray*}$

Erstens ist da kein x mehr unter der Wurzel, zweitens hast du etwas bei den Vorzeichen gehuddelt und drittens bezieht sich die Wurzel auf den ganzen Term dahinter. Also:
$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{11}{2} \pm \sqrt{(\frac{11}{2})^2 -10} \end{eqnarray*}$
In der Tat steht dann unter der Wurzel 20,25.

Zitat:

Original von 11meterkönig
x1,2= $\begin{eqnarray*} (-17:2)\pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}12,25 \end{eqnarray*}$

Hier gilt das gleiche wie oben. Also:
$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{17}{2} \pm \sqrt{(\frac{17}{2})^2 -60} \end{eqnarray*}$

23.04.2007, 15:49

11meterkönig

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Alles klar. Und was muss ich im Taschenrechner eintippen, damit ich auf 20,25 komme?

Hat sich erledigt. Habe es gerade noch so vor dem nächsten Test selbst herausgefunden. Blöd, wenn man einige Tasten auf dem TR kaum benutzt. Big Laugh

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