Funktionenschar f_k

08.11.2004, 17:57

Austi

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Funktionenschar f_k

Hallo zusammen!

Kann mir zufällig jemand bei den folgenden Analysisaufgaben behilflich sein?? Das wäre sehr, sehr lieb von Euch!

Gegeben sei die Funktionenschar $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_k (x) = \frac{k*(x^2+2x)}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$ mit k $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ IR \ {0}.

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich. Untersuchen Sie das Verhalten an den Definitionslücken sowie das Verhalten für x strebt gegen $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ .

b) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte. Berechnen Sie mit Hilfe der hinreichenden Bedingung die Koordinaten der Extremwerte. Berechnen Sie mit Hilfe der notwendigen Bedingung die Koordinaten der Wendepunkte.

Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray*} f'_k (x) = -2k \frac{2x+1}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

c) Zeigen Sie allgemein: Sämtliche Graphen der Schar schneiden sich in genau zwei Punkten. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte. Welche Beziehung besteht zwischen den Parametern k1 und k2, wenn sich die zugehörigen Graphen im Koordinatenursprung rechtwinklig schneiden?

d) Setzen Sie nun k = 1.
Bestätigen Sie zunächst: $\begin{eqnarray*} f_1 (x) = 1+\frac{4x-1}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$ Bestimmen Sie eine Stammfunktion zu f1(x) (Idee: u = x - 1) und berechnen Sie die Fläche, die vom Graphen und der x-Achse begrenzt wird.

Danke schonmal im Vorraus!

MfG
Austi

08.11.2004, 18:02

Ben Sisko

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RE: Funktionenschar f_k
Behilflich sein können wir, wenn du sagst, wo du Probleme hast.

18.11.2004, 14:56

Austi

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Hallo zusammen!

Muss die Aufgabe jetzt erst machen, hatte sie nur vorher schonmal reingestellt, weil ich geahnt hatte, dass Probleme auftreten!

Fangen wir mal bei b) an!

Also als y-Achsenschnittpunkt habe ich (0/0)
Als Nullstellen habe ich (0/0) und (-2/0)

Jetzt habe ich versucht auf die 1. Ableitung zu kommen, die wir ja dort gegeben haben... aber ich komme nicht aufs Ergebnis, das der Lehrer uns zur Kontrolle mit an die Hand gegeben hat!

Hat vielleicht jemand von Euch Zeit und Lust mir zu helfen??

MfG

Austi

18.11.2004, 15:14

klarsoweit

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dann schreib doch mal, wie du die 1. Ableitung berechnet hast.

18.11.2004, 15:18

Austi

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mithilfe der Quotientenregel...

habe da dann irgendwann folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)=\frac{2x^3-2x^2-2x+2-2kx^3+2kx^2+4xk}{(x-1)^4} \end{eqnarray*}$

Aber das ist mit Sicherheit verkehrt... I Need Help Augenzwinkern

Augenzwinkern

MfG
Austi

---------------------------------------

EDIT: wenn man f_k mithilfe der Quotientenregel ableitet kommt man doch hierauf,oder??

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)=\frac{(2x+2)*(x-1)^2-(kx^2+2xk)*(1*2*(x-1))}{(x-1)^4} \end{eqnarray*}$

18.11.2004, 15:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Austi
wenn man f_k mithilfe der Quotientenregel ableitet kommt man doch hierauf,oder??

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)=\frac{(2x+2)*(x-1)^2-(kx^2+2xk)*(1*2*(x-1))}{(x-1)^4} \end{eqnarray*}$

Nein, im 1. Term im Zähler fehlt der Faktor k. Es hieß ja k * (x² + 2x)

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18.11.2004, 15:49

Austi

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ok... passt das denn?

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)=\frac{(2xk+2k)*(x-1)^2-(kx^2+2xk)*(1*2*(x-1)}{(x-1)^4} \end{eqnarray*}$

18.11.2004, 16:02

klarsoweit

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sieht gut aus, jetzt kannst du noch den Term x-1 rauskürzen.

18.11.2004, 16:10

Austi

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OK, ist erledigt: Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)=\frac{(2xk+2k)*(x-1)-(kx^2+2xk)*2}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

danke, bin auf die 1. ableitung gekommen!

18.11.2004, 18:25

Austi

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Ist die 2. Ableitung auch richtig??

$\begin{eqnarray*} f_k''(x)=2k\frac{4x+5}{(x-1)^4} \end{eqnarray*}$

Habe als Extremwert folgendes heraus:
Notwendige Bedingung: x=-1/2
Hinreichende Bedingung: f_k''(-1/2)=32k/27

P ( -1/2 / (k-4)/9 )

Habe als Wendepunkt folgendes heraus:
Notwendige Bedingung: x=-5/4

WP ( -5/4 / (5*(5k-8)/81 )

Kann eventuell jemand die Ergebnisse bestätigen??

MfG
Austi

19.11.2004, 09:28

klarsoweit

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bei den Ableitungen habe ich das gleiche raus, beim Wendepunkt fehlt die hinreichende Bedingung.
Beim Extrempunkt P ( -1/2 / (k-4)/9 ) habe ich aber einen anderen Funktionswert. Den Funktionswert vom Wendepunkt habe ich nicht nachgerechnet, steht aber im Verdacht, auch falsch zu sein.

19.11.2004, 19:16

Austi

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Hallo klarsoweit!

Also, es ist erstmal prima, dass du die gleichen Ableitungen hast... Aber irgendwie komme ich immer wieder auf "meinen" Extremwert bzw. Wendepunkt...

Kannst Du mir vielleicht etwas weiter helfen (alle anderen hilfsbereiten Boarder sind selbstverständlich auch angesprochen)??

MfG

Austi

19.11.2004, 19:49

Jan

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um die y-koordinate von extrem- und wendepunkt zu bestimmen, musst du doch nur den berechneten x-wert in die funktionsgleichung (ganz oben!) einsetzen (nicht in die 2. ableitung, könnte sein, dass das dein fehler ist, kommt häufig vor...).
das ist dann eigentlich keine besonders große rechnung. probier's einfach noch mal, und wenn du ein ergebnis hast, sag noch mal bescheid smile

smile

20.11.2004, 12:33

Austi

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Habe jetzt als Extremwert folgendes heraus:
Notwendige Bedingung: x=-1/2
Hinreichende Bedingung: f_k''(-1/2)=32k/27

P ( -1/2 / -k/3 )

Habe als Wendepunkt folgendes heraus:
Notwendige Bedingung: x=-5/4

WP ( -5/4 / -5k/27 )

Kann denn eventuell jetzt jemand die Ergebnisse bestätigen??

MfG
Austi

20.11.2004, 16:45

Gast

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Diese beiden Punkte sehen da schon besser aus. Allerdings spielt doch das k beim Extremwert noch eine große Rolle... je nach dem welchen Wert k annimmt, entsteht ein Hochpunkt respektive Tiefpunkt, oder?

20.11.2004, 18:57

Austi

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Hallo Gast!

Ja, das habe ich mich auch schon gefragt... Aber ansonsten ist ja b) fertig. Kann mir jemand sagen, wie ich bei a) vorgehen soll?? Das wäre lieb!

MfG
Austi

----------------------------------------------------------------------------------------------

EDIT:

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich. D=R\{1} weil der Nenner nicht 0 werden darf!

Allerdings ist das Verhalten an den Definitionslücken und das Streben von x gegen plus minus unendlich nach wie vor ein Rätsel!

HELP PLEASE!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.11.2004, 12:18

Gast

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Hallo!

Ich habe mir mal grade die Funktion unter d) angeschaut, wo du, wenn du K=1 setzt, etwas rausbekommen sollst! Ich kann dieses Ergebnis nicht bestätigen! Kann es sein, dass Du Dich da vertippt hast?

21.11.2004, 12:21

Austi

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Also bei der Funktion könnte sich höchstens mein Lehrer vertippt haben! Ich habe sie zwar bisher auch noch nicht bestätigen können, aber mir wäre es lieb, wenn ich jetzt erstmal mit Teilaufgabe a) fertig werden würde... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eins nach dem anderen!

MfG
Austi

22.11.2004, 16:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von Austi
Habe jetzt als Extremwert folgendes heraus:
Notwendige Bedingung: x=-1/2
Hinreichende Bedingung: f_k''(-1/2)=32k/27

P ( -1/2 / -k/3 )

Das Ergebnis ist prinzipiell richtig. Als hinreichende Bedingung für Maximum ist aber f_k''(-1/2) < 0 und Minimum f_k''(-1/2) > 0 . Entsprechend muß k gewählt werden.
Der Wendepunkt ist auch richtig, hier müßte aber auch die hinreichende Bedingung geklärt werden.

22.11.2004, 17:05

Calvin

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Zitat:

Original von Gast
Hallo!

Ich habe mir mal grade die Funktion unter d) angeschaut, wo du, wenn du K=1 setzt, etwas rausbekommen sollst! Ich kann dieses Ergebnis nicht bestätigen! Kann es sein, dass Du Dich da vertippt hast?

Dann hast du einen Fehler gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

So wie es dasteht stimmt es. Läßt sich problemlos zeigen. Wie man es zeigt, soll der Aufgabensteller zunächst mal selbst überlegen wenn er soweit ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.11.2004, 13:55

grybl

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die Funktion in d für k=1 stimmt, es wurde eine ... durchgeführt, um auf diese Darstellung zu kommen smile

smile

23.11.2004, 13:56

Austi

Auf diesen Beitrag antworten »

Moin Moin!

Vielen Dank für Eure Hilfestellungen!

Hier meine 3. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f_k'''(x)=2k*\frac{-12x-24}{(x-1)^5} \end{eqnarray*}$

MfG

Austi

23.11.2004, 13:58

grybl

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stimmt, W einsetzen smile

smile

23.11.2004, 15:48

Austi

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man jetzt W einsetzt kommt folgendes heraus

$\begin{eqnarray*} f_k'''(-\frac{5}{4})=\frac{2048*k}{6561} \end{eqnarray*}$

Es existiert demnach also ein WP! --> gut Teilaufgabe b) erledigt!!!

zu a)

D=R\{1} weil der Nenner nicht 0 werden darf! --> das ist klar!

Verhalten für x strebt gegen +- unendlich:

dort bekomme ich k heraus!

Definitionslücken:

Kann der Nenner 0 werden??

Ja,
$\begin{eqnarray*} (x-1)^2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

Kann der Zähler 0 werden??

Ja, siehe Nullstellen

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-2 \end{eqnarray*}$

Kürzen des Linearfaktors:

Zähler und Nennerpolynom haben keine gemeinsame Nullstelle und somit keinen herauskürzbaren gemeinsamen Linearfaktor!

Wie geht es jetzt denn weiter?? Ich habe keine Ahnung!!!

MfG
Austi

23.11.2004, 16:07

klarsoweit

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also die Kurvendiskussion ist meines Erachtens damit erledigt, wichtig ist herauszustellen, dass die Art des Extremwertes vom Vorzeichen von k abhängt.
Ansonsten waren da noch die Teilaufgabe c) und d)
Hast du da irgendwelche Lösungen?

23.11.2004, 16:21

grybl

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wofür brauchst du das?

Zitat:

Kürzen des Linearfaktors:

verwirrt

23.11.2004, 20:38

Austi

Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich denn nicht noch weiter auf die Definitionslücken eingehen?? Ansonsten würde ich bei c) sagen, dass die beiden Punkte -2 und 0 sind... wegen der Zeichnung und bei d) kann ich auch nicht die Funktion bestätigen...

MfG
Austi

24.11.2004, 09:46

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

bei Definitionslücken kann man untersuchen, ob sie unter Umständen stetig behebbar ist. Das ist aber nur dann sinnvoll, wenn der Zähler an den Nullstellen vom Nenner (= Definitionslücke) ebensfall Null wird.

Teilaufgabe c) lautete so:
c) Zeigen Sie allgemein: Sämtliche Graphen der Schar schneiden sich in genau zwei Punkten. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte. Welche Beziehung besteht zwischen den Parametern k1 und k2, wenn sich die zugehörigen Graphen im Koordinatenursprung rechtwinklig schneiden?

Wie du sagst, ist das an den Stellen -2 und 0 der Fall. Aber bewiesen hast du das nicht. Und dann kommt noch das rechtwinklige Schneiden.

24.11.2004, 15:30

Austi

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Zitat:

Original von klarsoweit
bei Definitionslücken kann man untersuchen, ob sie unter Umständen stetig behebbar ist. Das ist aber nur dann sinnvoll, wenn der Zähler an den Nullstellen vom Nenner (= Definitionslücke) ebensfall Null wird.

ganz genau... und das ist hier definitiv nicht der Fall, demnach ist Teilaufgabe a) an diese Stelle beendet! Oder??

--------------------------------------------------------------------------------------------------

c) Zeigen Sie allgemein: Sämtliche Graphen der Schar schneiden sich in genau zwei Punkten.

Dort habe ich folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{k_1*(x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{k_2*(x^2+2x)}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

Dann kommt dort $\begin{eqnarray*} k_1=k_2 \end{eqnarray*}$ heraus!!

Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

Also die Koordinaten (0/0) und (-2/0) ergeben sich aus einer Zeichnung, die ich angefertig habe, aber wie berechne ich sie... bzw. woher weiß ich, dass sich die kurven genau dort schneiden (ohne Hilfe der Zeichnung)??

Welche Beziehung besteht zwischen den Parametern k1 und k2, wenn sich die zugehörigen Graphen im Koordinatenursprung rechtwinklig schneiden?

Die Tangente von fk an 0 hat die Steigung f'(0) = 2k

Die Normale von fk im Ursprung steht senkrecht zu der Tangente von f im Ursprung. Die Steigung der Normale ist der Kehrbruch der Steigung der Tangente. Für die Steigungen m_t und m_n gilt (falls weder m_t=0, noch m_n=0): m_t*m_n= -1

Daher:

$\begin{eqnarray*} m_n = -\frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$

und bei d) bin ich grade bei,aber wie gesagt: Wie werden die Koordinaten bei c) ausgerechnet und stimmt das alles so ?? Augenzwinkern

Augenzwinkern

MfG
Austi

------------------------------------------------------------------------

EDIT: Bei d) kann man ja mittels Polynomdivision auf die gegebene Funktion kommen... leider komme ich nur auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x - 1)^2} \end{eqnarray*}$

24.11.2004, 16:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Austi
c) Zeigen Sie allgemein: Sämtliche Graphen der Schar schneiden sich in genau zwei Punkten.

Dort habe ich folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{k_1*(x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{k_2*(x^2+2x)}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$
Dann kommt dort $\begin{eqnarray*} k_1=k_2 \end{eqnarray*}$ heraus!!

Aus $\begin{eqnarray*} \frac{k_1*(x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{k_2*(x^2+2x)}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$
folgt:
$\begin{eqnarray*} k_1*(x^2+2x) = k_2*(x^2+2x) \end{eqnarray*}$
oder:
$\begin{eqnarray*} (k_1 - k_2) * (x^2+2x) = 0 \end{eqnarray*}$
==> x = 0 oder x = -2 als Schnittstellen

Zitat:

Original von Austi
Die Tangente von fk an 0 hat die Steigung f'(0) = 2k

Die Normale von fk im Ursprung steht senkrecht zu der Tangente von f im Ursprung. Die Steigung der Normale ist der Kehrbruch der Steigung der Tangente. Für die Steigungen m_t und m_n gilt (falls weder m_t=0, noch m_n=0): m_t*m_n= -1

stimmt im Prinzip, aber ich hätte es so geschrieben:
$\begin{eqnarray*} f_{k_1}'(0) = 2k_1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f_{k_2}'(0) = 2k_2 \end{eqnarray*}$
Damit die Tangenten zueinander senkrecht sind, muß gelten:
$\begin{eqnarray*} f_{k_1}'(0) * f_{k_2}'(0) = -1 \end{eqnarray*}$
jetzt einsetzen und nach k2 auflösen.

Was hast du bei d) gerechnet?

24.11.2004, 18:27

Austi

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Wenn Du das machst, kommt doch folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} k_2=-\frac{1}{k_1} \end{eqnarray*}$

Damit wäre ich mit a,b und c fertig -> vielen Dank an alle Beteiligten!

zu d)

Konnte Funktion f_1 bestätigen!! (Mit Polynomdivision)

Jetzt soll es angeblich mit dem Partialbruch weitergehen!

I( (4x-1)/(x-1)^2)=I(A/(x-1))+I(B/(x-1)^2) und dann Koeffizientenvergleich

Allerdings hatte ich Partialbruch und den Koeffizientenvergleich noch nicht! Komme da erstmal nicht weiter!

MfG
Austi

24.11.2004, 21:29

grybl

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ich bring mal deine "Partialbruchzerlegung" in lesbare Form.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~1+\frac{4x-1}{(x-1)^2}~dx = x+ \int_{}^{}~\frac{4x-1}{(x-1)^2}~dx \end{eqnarray*}$

mMn kann man $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{4x-1}{(x-1)^2}~dx \end{eqnarray*}$ nur mittels Partialbruchzerlegung lösen oder hat wer eine andere Idee? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{4x-1}{(x-1)^2}~dx =\int_{}^{}~\frac{A}{(x-1)}~dx + \int_{}^{}~\frac{B}{(x-1)^2}~dx \end{eqnarray*}$

25.11.2004, 08:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von Austi
Wenn Du das machst, kommt doch folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} k_2=-\frac{1}{k_1} \end{eqnarray*}$

Wie hast du denn das gerechnet?

29.11.2004, 17:44

Austi

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Austi
Wenn Du das machst, kommt doch folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} k_2=-\frac{1}{k_1} \end{eqnarray*}$

Wie hast du denn das gerechnet?

ja, das ist falsch! Kannst den Beitrag von mir ignorieren! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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Also, ich habe Aufgabe d) erledigt! (siehe Anhang)

Damit ist diese Analysisaufgabe abgeschlossen!

Ich danke allen für ihre Hilfe!

MfG
Austi

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