Defekt und Rang einer Matrix

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Tenmat Auf diesen Beitrag antworten »
Defekt und Rang einer Matrix
Hallo,

Ich stehe vor folgendem Problem:

Der Rang einer Matrix ist die anzahl der Zeilen die ungleich Null sind, richtig?

Der Defekt ist die Anzahl der Zeilen die komplett Null sind, richtig?


Um Rang und Defekt zu bestimmen muss ich vorher in Stufenform umstellen, richtig?

Kann man den Defekt auch so schreiben:

defekt(A) = Anzahl der Spaltenvektoren - Rang(A) ?

Mal ein Beispiel:




Rang = 2
Defekt= Anzahl der Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix (3) - RG (2)

Defekt = 1
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

defekt hab ich jetzt noch nie gehört, aber kern ist wohl gebräuchlich und da gilt analog zu deinem: kern(A) = dim(V) - bild(A)
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der Rang einer Matrix ist die anzahl der Zeilen die ungleich Null sind, richtig?


Das ist falsch, das ist die Anzahl der linear unabhängigen nicht null Zeilen. Es können durchaus 2 oder mehr Zeilen ungleich null existieren, so das diese linear Abhängig sind. Etwa ist der Rang folgender Matrix 1:



Nach Deiner Definition wäre er jedoch 2 was falsch ist.

Zitat:
Der Defekt ist die Anzahl der Zeilen die komplett Null sind, richtig?


Nur dann wenn alle linear abhängigen Zeilen in Nullzeilen, per Gauss zum Beispiel, umgewandelt wurden.
zufälligerWald Auf diesen Beitrag antworten »

der rang einer Matrix ist die zahl linear unabhängiger zeilen bzw spalten


ich hole etwas aus:
Def: gegeben beliebig viele Vektoren ai, beliebig viele reelle zahlen ri (i ist zählvariable)
dann heißt Die Summa ri*ai LINEARKOMBINATION


Def: vektor a, vektor b sind linear abhängig, wenn a = r*b mit r beliebige reelle zahl

insbesondere auch: für vektor a, vektor b, vektor c sind linear abhängig wenn
r1*a+r2*b+r3*c = nullvektor für r1,r2,r3 sind reelle Zahlen und r1,r2,r3 sind NICHT NULL
(kann für beliebig viele Vektoren erweitert werden..)

Satz: matrix A hat N linear unabhängige Spalten <=> A hat N linear unabhängige Zeilen (also immer gleichviele.nur so am rande, man kann also beides prüfen und kommt zum selben Ergebnis)


Jetzt geht's aber endlich los:
bringen wir unsere Matrix in ZEILENSTUFENFORM, so wenden wir ZEILENOPERATIONEN auf sie an.
Zeilenoperationen kennst du schon. Sie beinhalten:
-Das multiplizieren und dividieren von reellen zahlen auf einer ganzen Zeile
-Das addieren einer Zeile auf eine andere Zeile
->implizit auch das muliplizieren(und somit 'vielfachmachen' ins positive und negative) einer zeile und anschliessend das draufaddieren auf eine andere zeile.

-> das entspricht einfach einer LINEARKOMBINATION. Ist das Ergebnis dann am ende eine NULLZEILE, so ist klar, dass wir eine Linearkombination mit Null(zeilen)vektor als Ergebnis erhalten und somit liegt eine lineare Abhängigkeit zwischen den Zeilen vor.

Deshalb:



Rang(A) = ANZAHL LINEAR UNABHÄNGIGER ZEILEN = ANZAHL NICHTNULLZEILEN IN ZEILENSTUFENFORM





DEFEKT(A) = DIM(A) - RANG(A)
mit Dim(A) = max {anzahl zeilen von A, anzahl spalten von}

der defekt einer matrix(manchmal auch Freiheitsgrad einer matrix genannt) sagt aus, wie "uneindeutig" lösungen eines gleichungssystems mit dieser matrix sind.

Ax=b, A,b sind gegeben, x wird als lösungsvektor gesucht.
Mit zB defekt(A)=2 können 2 einträge im lösenden vektor x beliebig gewählt werden und trotzdem ist das gleichungssystem lösbar (in der schule nannten wir das unendlich viele lösungen).

(daraus ergibt sich übrigens, dass eine matrix mit vollem rang (also rang(A) = dim(A) ), die in Ax=b immer eine eindeutige lösung liefert natürlich einen defekt von 0 besitzt, schliesslich sind alle zeilen im lösungsvektor eindeutig und somit nicht veränderbar)


Bei fragen jederzeit an mich wenden, antworte gerne

MfG
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Der vorletzte Beitrag ist vom 26.03.2007. Ich bezweifle, dass sich TE hierzu nochmal meldet smile
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