Transformation von Zufallsvariablen

26.03.2007, 18:37

Transformation von Zufallsvariablen

Hallo Ihr Lieben,

zu folgenden zwei Aufgaben:

1. Sei X exponentialverteilt mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und Dichte von Y=1/X.
b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und Dichte von Z=1/(1+X).

2. Sei X standardnormalverteilt.
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und Dichte von $\begin{eqnarray*} Y=X^n \end{eqnarray*}$ .

habe ich folgende Fragen:

zu 1.a) Kann ich schreiben
$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = P(Y \le y) = P(1/X \le y) = P(1/y \le X) = 1 - P(X < 1/ y) = 1 - P(X \le 1/ y) = 1 -F_X(1/y) \end{eqnarray*}$
so dass
$\begin{eqnarray*} F_Y(y)=e^{- \lambda / y} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ und 0 für $\begin{eqnarray*} y \le 0 \end{eqnarray*}$ ist?

zu 1 b) analoge Vorgehensweise
$\begin{eqnarray*} F_Z(z)=e^{- \lambda (1/z - 1)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<y<1 \end{eqnarray*}$ und 0 sonst
Ist dies richtig?

zu 2. Betrachtet man $\begin{eqnarray*} Y=X^2 \end{eqnarray*}$ , so ist
$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-y^{0,5} \le X \le +y^{0,5}) = ...=2*\phi(y^{0,5})-1 \end{eqnarray*}$
Ist dies soweit richtig und wenn ja, wie kann ich dies auf $\begin{eqnarray*} Y=X^n \end{eqnarray*}$ übertragen (Fallunterscheidung)?

Freue mich über jede Hilfe!

Grüße

Manuel

26.03.2007, 20:02

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(1) ist lobenswert richtig, bis auf einen kleinen Schreibfehler bei b), das steht natürlich $\begin{eqnarray*} 0<z<1 \end{eqnarray*}$ .

Bei (2) bist du auch auf der richtigen Spur, du musst eine Fallunterscheidung gerade bzw. ungerade Exponenten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durchführen. Freude

26.03.2007, 20:54

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Hallo Arthur,

danke für Deine schnelle Antwort!

zu 2.:
Mit n=1,2,3,...

Fallunterscheidung:
- n gerade:
(analog zu oben)
$\begin{eqnarray*} F_Y(y)=2* \phi(y^{1/n})-1 \end{eqnarray*}$

- n ungerade:
(Vorzeichen von X bleibt bei ungerader Potenz erhalten)
$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^n \le y) = P(X \le y^{1/n}) = \phi(y^{1/n}) \end{eqnarray*}$

Ist dies so richtig?

und weiter:
Mit n=0
$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^0 \le y)= P(1 \le y) \end{eqnarray*}$
Ist dies eine Punktmasse oder Unsinn?

Mit n<0
Fallunterscheidung:
- n gerade:
$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^{-n} \le y) = P(y \le X^{n}) = 1 - P(X^n < y) = 1- P(-y^{1/n} <X < y^{1/n}) =...=2 - 2*\phi(y^{1/n}) \end{eqnarray*}$

- n ungerade:
$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^{-n} \le y) = P(y \le X^{n}) = 1 - P(X^n < y) = 1- P(X \le y^{1/n}) =1 - \phi(y^{1/n}) \end{eqnarray*}$

Wenn man nun $\begin{eqnarray*} P(X^{+n} \le y)+ P(X^{-n} \le y) \end{eqnarray*}$ summiert, kommt anscheinend immer 1 raus.

Oder anders argumentiert: Da $\begin{eqnarray*} 1 - F_{X^n}(y) = F_{X^{-n}}(y) \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} F_{X^{-n}}(y) \end{eqnarray*}$ die Überlebensfunktion von $\begin{eqnarray*} X^n \end{eqnarray*}$ und umgekehrt.

Ist dies richtig und wenn ja, warum?

Grüße

Manuel

26.03.2007, 20:59

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Vielleicht fragst du mal deinen Lehrer, ob du nicht vielleicht sowieso nur positiv ganzzahlige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ betrachten sollst? Die Wahl der Symbolik $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ legt das zumindest nahe.

Dann könntest du dir den zweiten Teil sparen. Schaden kann er natürlich auch nicht.

26.03.2007, 21:19

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Hallo Arthur,

die Aufgaben habe ich mir selber ausgedacht (und n sollte tatsächlich zuerst nur für natürliche Zahlen gelten, habe dann jedoch etwas weiter gesponnen).

Korrektur: Für n<0 muss in beiden Fällen ab der ersten Umformung das y durch 1/y ersetzt werden. D.h. meine Schlussfolgerungen sind falsch.

Verbleibt n=0. Ist $\begin{eqnarray*} Y=X^0=1 \end{eqnarray*}$ eine Punktmasse in 1?

Grüße

Manuel

26.03.2007, 21:25

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Zitat:

Original von <Manuel>
Ist $\begin{eqnarray*} Y=X^0=1 \end{eqnarray*}$ eine Punktmasse in 1?

Ja klar.

26.03.2007, 21:27

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Danke!
Danke!

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