Körper |
| 08.11.2004, 18:28 | Kai der große | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Körper |
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| 08.11.2004, 22:36 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hi, wenn du ihn konstruieren möchtest, nimmst du 3 elemente (a,b,c oder 0,1,2 oder wie auch immer) und bastelst dir erst mal bzgl. einer verknüpfung * eine abelsche gruppe, danach wählst du eine weitere Verknüpfung (herzchen ist sehr beliebt) und überlegst dir, wie die elemente verknüpft damit werden müssen, damit du einen körper hast..... sollte bei 3 elementen machbar sein... kommst du damit weiter? mfg jochen |
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| 08.11.2004, 23:02 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da ein Körper mindestens die Null und die Eins enthalten muß, die Eins aber auch ein additives Inverses braucht, empfehle ich die Symbole 0,1,-1 als Elemente des Körpers. Wie man multipliziert, ist damit aufgrund der Vorzeichenregeln schon klar. Nur die Addition geht nicht wie gewohnt. |
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| 09.11.2004, 10:18 | Kai d.G. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also das sagt mir jetzt irgendwie nichts... ich weiß, was bei einem körper existieren muss, damit es erstmal ein körper ist. nur wie komm ich dann schritt für schritt auf ein richtiges ergebnis? |
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| 09.11.2004, 11:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie die andern schon sagten: Verknüpfungen definieren und die Körpereigenschaften nachweisen. Übrigens: die Restklassen bei Division durch 3 (0; 1; 2) sind auch sehr beliebt, weil man kann da irgendwie (das mußt du definieren) addieren und multiplizieren. |
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| 09.11.2004, 12:02 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie fang ich da an? |
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| 09.11.2004, 12:28 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
halo fliege ist doch jetzt schon von leopold ganz gut erläutert worden. wähle zum beispiel die menge {0,1,2} und die verknüpfungen + und * (achtung funkt. nicht genauso wie die normalen, denn 2+1=3 kann ja nicht sein, da 3 nicht in {0,1,2} liegt) jetzt überlegst du dir, wie du die elemente jeweils mit + und * verknüpfen musst, damit sich ein körper ergibt. du kannst natürlich auch allgemeine a,b,c wählen.... und bel. verknüpfungsnamen.... ich mache mal nen anfang für ({a,b,c},+,*): also zunächst brauchst du eine abelsche gruppe bzgl. +: dazu mache dir einfach eine Verknüpfungstabelle mit den 3 elementen und (o.B.d.A ) a als neutrales element..... das mache ich dir mal teilweise vor...... + | a | b | c a | a | b | c b | b c | c soweit klar, weil a das neutrale element ist. und jetzt besagt der satz von cayley (oh gott, wie schreibt man den?), dass eine solche verknüpfungstafel genau dann eine gruppe darstellt,wenn in jeder zeile und jeder spalte jedes elementgenau einmal vorkommt. also sollte es kein problem sein, die tafel weiter auszufüllen, oder? jetzt musst du dir nur noch überlegen, wie die elemente bzgl der * verknüpt werden müssen. dabei gilt: jedes element außer dem additiiven neutralen (hier a) hat ein inverses. also überlege dir, welches der elemente du als multiplikatives inverses nimmst (b und c bislang völlig gleichbehandelt, also im endeffekt egal), wähle (o.B.d.A) b multiplikatives neutrales. (c ist dann entweder selbstinvers oder zu a invers, aber a hat ja gar kein multiplikativ inverses, also...) jetzt bedenke, was für die multiplikation gelten muss und kreire so deine tabelle.... na, jetzt versuch es nochmal ganz in ruhe! mfg jochen |
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| 09.11.2004, 13:00 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
indem du die Verknüpfungen definierst!!! Nehme die Reste bei Division durch 3, also 0, 1 und 2. Dann sei a + b = (a + b)mod3 und a * b = (a * b)mod3 Jetzt mußt du die Körpereigenschaften beweisen. Also 0 ist das neutrale Element der Addition, usw., usw. |
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| 09.11.2004, 14:03 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke jochen - super erklärt und ich habs verstanden! 
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| 09.11.2004, 14:54 | kai d.G. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie sieht dann die tabelle aus? bei der add: + a b c a a b c b b c a c c a b und für die multi: c selbstinvers b multiplikatives neutrales * a b c a b a c b a c b c c b a ??? habe den satz von cayley noch nie gehört. gilt der auch bei der multiplikation? wenn ich das nun gezeigt habe, muss ich dann noch was tun? |
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| 09.11.2004, 15:14 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
additionstabelle ist richtig der körper ist bzgl. der multiplikativen verknüpfung keine gruppe wegen dem fehlenden inversen von dem neutralen element der addition. deshalb kommst du hier mit cayley nicht weiter....... (dessen satz gilt übrigens allgemein für gruppen) aber bei drei elementen kannst du es dir so überlegen......
c selbstinvers, d.h. c*c= b, denn b ist neutral, daher folgt auch b*b=b..... a hat kein inverses, also hat a in der zeile/spalte kein b...... vergleichs doch mal mit (|R, +, *): da gilt zum beispiel 0*0 = 0...... mfg jochen |
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| 14.11.2004, 19:31 | Fliege | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ist ein körper mit drei elementen z.bsp. 0,1 und -1! und wie zeige ich hier nun die addition? |
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| 14.11.2004, 19:52 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| 05.12.2005, 20:30 | Henni82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Bestimmen sie alle Körper mit genau 3.Elementen?!? Hi! Kann mir jemand helfen! Ich soll alle Körper mit genau 3.Elementen bestimmen (ohne Isomorphie)?!? Wie mache ich das. Die ersten 2 Elemente sind klar (die Neutralen), aber wie wähle ich das 3.Elemtent? Einfach a als das 3.Element deklarieren und dann K = {0,1,a} für alle a € R - richtig oder falsch??? Ist das zu einfach gedacht? *g* Danke! Gruß Henni 
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| 05.12.2005, 20:31 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was willst du da bitte mit "a€R"????? nenn dein drittes element a, okay stelle mal die verknüpfungstabellen zu * und + auf |
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| 05.12.2005, 23:59 | Henni82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, die Verknüpfungstabelle aufzustellen ist kein Problem - nur wozu brauch ich die genau? Um die Gültigkeit des Distributivgesetzes zu prüfen? Da (K ; +) und (K / {0} ; *) Gruppen mit den neutralen Elementen 0 und 1 sind muss ich ja eigentlich nur das (die Gültigkeit des Distributivgesetz) zeigen oder mach ich einen Fehler? Wollte mit a€R (a Element aus den reellen Zahlen) eigentlich nur ausdrücken, dass a beliebig sein kann, aber ich glaub du hast Recht - das kann man wohl weglassen. Ich weiß halt nicht so genau bescheid, sonst würde ich ja nicht fragen! *g* Möchte nur wissen wie ich "ALLE" KÖRPER dieser Art (also mit 3.Elementen) bestimmen kann - bitte helft mir. *g* Danke! MfG Henni |
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| 06.12.2005, 00:04 | Henni82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
* 1 a 1 1 a a a 1 + 0 a 0 0 a a a 0 glaub ich wohl 
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| 06.12.2005, 00:23 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
a€R macht gar keinen sinn! das kann man nicht nur weglassen, dass €R MUSS man weglassen €R macht doch gar keinen sinn, es geht doch um einen völlig anderen körper das letzte sind verknüpfungstafeln zum körper mit ZWEI elementen aber deine mutliplikationstabele ist falsch auf jeden fall wirst du feststellen dass es (bis auf unwichtige umbenennung der elemente) je nur eine sinnige verknüpfungstafel gibt => ergo gibts nur einen körper mit 2 elementen wie sollte denn ein anderer aussehen? |
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| 06.12.2005, 09:53 | Henni82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, seh ich ein! :-)
Wieso ist meine Verknüpfungstafel falsch? *wunder* Wie soll die deiner Meinung nach aussehen? :-) Du meinst ich soll ne Tafel mit 0,1,a für + und * im K mit 0 aufstellen. Dann funktioniert mein * ja garnicht mehr, weil K\{0} sein muss für mein neutrales Element der Multi. *verwirrt* _____ Wie man merkt liegen mir die Körper hier noch nicht so gut - Ich glaub ich les mich erstmal schlau und meld mich später nochmal, bevor ich hier noch als absoluter Noob abgestempelt werde! Danke trotzdem! ;-) MfG Henni |
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| 07.12.2005, 20:12 | Henni82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
* 0 1 a 0 0 0 0 1 0 1 a a 0 a 1 + 0 1 a 0 0 1 a 1 1 a 0 a a 0 1 =) Ich hoffe ich hab mich nicht verschrieben! (= |
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