Brauche Bestätigung oder Widerspruch

08.11.2004, 19:08	sebstey	Auf diesen Beitrag antworten »
Brauche Bestätigung oder Widerspruch Hallo. Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Ein Glücksrad ist in zehn gleich große Felder mit den Zaheln 1 bis 10 aufgeteilt. Es wird sechsmal nacheinander gedreht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind drei hintereinander auftretende Zahlen gerade? Ich denke, dass die Wahrscheinlichkeit in etwa so zu errechnen ist: $\begin{eqnarray} p = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ (Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl auftritt) $\begin{eqnarray} n = 3 \end{eqnarray}$ (Anzahl der Durchläufe) $\begin{eqnarray} X = 3 \end{eqnarray}$ (Anzahl der benötigten 'wahren' Ereignisse) Jetzt würde sich 0,125 ergeben, da alle drei Durchläufe eine gerade Zahl ergeben müssen ( $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ) Dieses Ergebnis [0,125] würde ich jetzt mit 4 multiplizieren, da ich viermal die Chance habe drei gerade Zahlen hintereinander zu erhalten: 1,2,3 sind gerade 2,3,4 sind gerade 3,4,5 sind gerade 4,5,6 sind gerade Ist die Wahrscheinlichkeit also $\begin{eqnarray} 4 \cdot 0,125 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ? OK, inzwischen glaube ich schon nicht mehr, dass es so ist, aber vielleicht hab ich mich damit zu viel beschäftigt, als dass ich die Lösung noch finden könnte Wäre super, wenn ihr mir wieder auf die richtige Bahn helfen könntet! Vielen Dank Sebastian
20.11.2004, 16:14	MartyD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Bestätigung oder Widerspruch ok, kurz zur Ausgangssituation: Glücksrad mit Zahlen von 1 bis 10 und gleichgrosse Felder, d.h. jede Zahl kann mit der gleichen Wahrscheinlichkeit, nämlich 1/10, kommen. Das Drehen des Rades ist ein Zufallsexperiment, genauer ein LaPlace Experiment. Im konkreten Fall wird sechs mal gedreht und die Wahrscheinlichkeit gesucht, mit der drei Zahlen hintereinander gerade Zahlen sind. es gibt 5 gerade und 5 ungerade Zahlen, somit ist die WS, dass beim i-ten Drehen eine gerade Zahl kommt: 0,5. Die gesuchte WS: P(genau 3 gerade Zahlen hintereinander) lässt sich so berechnen: P(1,2,3 Gerade und 4,5,6 Ungerade) + P(2,3,4 Gerade und 1,5,6 Ungerade) + P(3,4,5 Gerade und 1,2,6 Ungerade) + P(4,5,6 Gerade und 1,2,3 Ungerade) Jede der obigen vier Wahrscheinlichkeiten beträgt: $\begin{eqnarray} 0,5^{6} \end{eqnarray}$ Da die obigen Ereignisse unvereinbar sind beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit: $\begin{eqnarray} 4 0,5^{6} \end{eqnarray*}$
20.11.2004, 20:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Bestätigung oder Widerspruch Dass deine Rechnung falsch ist, merkst du, wenn du 18 statt 6 Glücksraddrehungen betrachtest. Da käme nach deiner Rechnung Wahrscheinlichkeit (18-2)1/8=2 heraus... nichts für ungut! Sei $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ das Ereignis, dass im i-ten, (i+1)-ten und (i+2)-ten Zug eine gerade Zahl auftaucht. Dich interessiert die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von $\begin{eqnarray} A_1\cup\ldots\cup A_4 \end{eqnarray}$ . Dummerweise sind diese Ereignisse nicht disjunkt, mit der Summe klappt's also nicht. Für solche Fälle ist die Einschluss-Ausschluss-Formel der richtige Weg (wird etwas länglich): $\begin{eqnarray} P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4) = P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+P(A_4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -P(A_1\cap A_2)-P(A_1\cap A_3)-P(A_1\cap A_4)-P(A_2\cap A_3)-P(A_2\cap A_4)-P(A_3\cap A_4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +P(A_1\cap A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2\cap A_4)+P(A_1\cap A_3\cap A_4)+P(A_2\cap A_3\cap A_4) -P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 4p_3-(3p_4+2p_5+p_6)+(2p_5+2p_6)-p_6 = 4p_3-3p_4 = \frac{4}{2^3}-\frac{3}{2^4} = \frac{5}{16} \end{eqnarray}$ (Dabei sei $\begin{eqnarray} p_i = \frac{1}{2^i} \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass an i festgelegten der 6 Drehungen eine gerade Zahl auftaucht.) EDIT: MartyD's Rechnung ist leider falsch, da z.B. die Folge 1,2,3 gerade , 4,5 ungerade, 6 gerade als "Treffer" nicht mitgezählt wird - seine Wahrscheinlichkeit ist also viel zu niedrig. Außerdem ist nirgendwo von "genau" drei geraden Zahlen die Rede, sondern von einer Sequenz dreier aufeinander folgernder gerader Zahlen, es können also auch mehr als drei sein, z.B. 1 ungerade, 2,3,4,5 gerade, 6 ungerade
20.11.2004, 20:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir fällt gerade noch eine kürzere Lösung ein : Einfach alle 64 Varianten 000000, 000001, ... , 111111 aufschreiben, und nur die mit mindestens drei hintereinander stehenden Einsen zählen. Es sind genau 20, also Wahrscheinlichkeit 20/64 = 5/16, wie oben.
21.11.2004, 13:15	MartyD	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin, wahrscheinlich fälschlicherweise :-)), von "genau drei gerade Zahlen hintereinander" ausgegangen.

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