abbildung von R nach R+

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08.11.2004, 20:42

derboe

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abbildung von R nach R+

kennt jmd eine bijektive Funktion von den Reelen zahlen in die positiv Reelenzahlen(inkl.0)????

08.11.2004, 21:13

derboe

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wie sieht das mit
f(x)=e^x aus

08.11.2004, 22:53

Leopold

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In diesem Strang gibt es ein paar Informationen.

08.11.2004, 23:28

derboe

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hmm naja so wirklich hilft das nich
denn ne bijektion von R--->[0,1) war ja nich mein problem
(des würde auch leicht mit 1/x gehen)

eigentlich wäre e^x ja ne gute idee aber
wie erreich y=0?? denn in R+ sollte ja y=0 enthalten sein? Hilfe

08.11.2004, 23:39

Leopold

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Mit einer stetigen Abbildung wirst du das nicht erreichen, denn $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$ enthält den Randpunkt 0, während $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ keine Randpunkte enthält.

09.11.2004, 09:50

derboe

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na toll
is die abbildung aber nich stetig so bekomm ich doch nie ne bijektion oder?

09.11.2004, 10:55

DanielS

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RE: abbildung von R nach R+
Wie wäre es mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{1/x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Die Funktion ist zwar nicht stetig, aber bijektiv.

09.11.2004, 13:19

derboe

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tja gute idee nur wird hier y=1 nie erreicht
also dürfte es auch keine bijektion sein oder? Tanzen

09.11.2004, 13:35

Mazze

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$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{x}} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(e^{\frac{1}{x}}) = ln(1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} = ln(1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{ln(1)} \end{eqnarray*}$

1 wird also erreicht, und ich schaetze mal so ziemlich jeder Wert. Injektiv ist die Abbildung auf jeden Fall

edit

Ich hab mir die Funktion mal ausgeben lassen, und da war sie alles andere als Injektiv. Ich bin mir nur nicht sicher ob der Plotter n Fehler gemacht hat.

09.11.2004, 13:45

derboe

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Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{x}} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(e^{\frac{1}{x}}) = ln(1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} = ln(1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{ln(1)} \end{eqnarray*}$

1 wird also erreicht, und ich schaetze mal so ziemlich jeder Wert. Injektiv ist die Abbildung auf jeden Fall

edit

Ich hab mir die Funktion mal ausgeben lassen, und da war sie alles andere als Injektiv. Ich bin mir nur nicht sicher ob der Plotter n Fehler gemacht hat.

wie wasn ?
aber 1/ln(1)==1/0???oder?

09.11.2004, 13:47

Philipp-ER

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x=1/ln(1) ist natürlich ein prächtiger x-Wert...
derboe:
Bijektionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ wurden ja jetzt schon einige genannt. Schafft man es jetzt noch, eine Bijektion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^+\cup\{0\} \end{eqnarray*}$ anzugeben, so ist die Verkettung dieser beiden Bijektionen offensichtlich die gewünschte Abbildung.
Und eine Bijektion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^+\cup\{0\} \end{eqnarray*}$ ist zum Beispiel die folgende:
$\begin{eqnarray*} \forall\, n\in\mathbb{N}:n\mapsto n-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\mapsto x \mbox{ sonst} \end{eqnarray*}$
Gruß
Philipp

09.11.2004, 17:28

DanielS

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Stimmt, hab ich übersehen, also auch keine Lösung, sorry.

09.11.2004, 17:56

Mazze

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Das passiert wenn man aufn letzten drücker noch ne Antwort gibt. Im Schaubild hät mir auffallen sollen das sich der 0 asymptotisch angenähert wird. Naja Hammer

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abbildung von R nach R+

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