Normen abschätzen

26.03.2007, 21:22	Sibi	Auf diesen Beitrag antworten »
Normen abschätzen Ich habe folgende Aufgabe: Bestimme die größte Zahl $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und die kleinste Zahl $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ , so dass gilt: $\begin{eqnarray} \alpha \|\|x\|\|_{\infty} \leq \|\|Ax\|\|_{\infty} \leq \beta \|\|x\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ Für die eine Richtung dachte ich: $\begin{eqnarray} \|\|Ax\|\|_{\infty} \leq \max_{x \neq 0} \frac{\|\|Ax\|\|_{\infty}}{\|\|x\|\|_{\infty}} \|\|x\|\|_{\infty} = lub_{\infty}(A) \|\|x\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ Nur bei der anderen Richtung habe ich Probleme. Mein Versuch bisher: $\begin{eqnarray} \|\|Ax\|\|_{\infty} \geq \frac{1}{\max_{x \neq 0} \frac{\|\|Ax\|\|_{\infty}}{\|\|x\|\|_{\infty}}\|\|x\|\|_{\infty}} = \frac{1}{lub_{\infty}(A) \|\|x\|\|_{\infty}} = \frac{1}{lub_{\infty}(A) \|\|x\|\|^2_{\infty}} \|\|x\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \beta = lub_{\infty}(A) \end{eqnarray}$ müßte stimmen. Aber mein $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ schaut komisch aus Die kleinste Zahl wäre ja eigentlich etwas in der Art $\begin{eqnarray} \|\|Ax\|\|_{\infty} \geq \min_{x \neq 0} \frac{\|\|Ax\|\|_{\infty}}{\|\|x\|\|_{\infty}} \|\|x\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ . Kann mir jemand einen Tipp geben?

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