Beweis zur Konvergenz

26.03.2007, 21:31

VinSander82

Beweis zur Konvergenz

hallo leute ich doll beweisen, das die Folge (an):= $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}), n \in N, gegen \frac{1}{2} konvergiert \end{eqnarray*}$

kann mir einer vn euch oder am besten gleich alle helfen

gruß vinni

26.03.2007, 21:38

pseudo-nym

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Naj dann bilde doch mal
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n}( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$

und achte auf den unbestimmten Ausdrück.

26.03.2007, 21:43

Frooke

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Denke an

$\begin{eqnarray*} a_n:=\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=\sqrt{n^2+n}-n=\sqrt{n^2+n+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}-n=\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}-n \end{eqnarray*}$

EDIT: Wieder langsam... smile

26.03.2007, 22:51

VinSander82

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ich versteh nicht warum du dann auf einmal $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

26.03.2007, 23:05

DGU

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dieser "Trick" nennt sich quadratische Ergänzung
bei der Limesbetrachtung spielt das - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ in der Wurzel keine Rolle mehr

27.03.2007, 00:01

VinSander82

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aber wozu??

lg vinni

27.03.2007, 00:08

Egal

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Na wenn du das 1/4 weglassen darfst beim Limes ist die Lösung danach (nach dem weglassen) doch eigentlich offensichtlich.

27.03.2007, 09:00

Sumo

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Statt über das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ nachzudenken würde ich einfach anders umformen,
denn dann ist (mit Grenwertsätzen und Stetigkeit der Wurzelfunktion)
alles sofort offensichtlich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+n}-n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{1}{\underbrace{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}_{\longrightarrow 1}+1}\longrightarrow \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

27.03.2007, 10:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von DGU
dieser "Trick" nennt sich quadratische Ergänzung
bei der Limesbetrachtung spielt das - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ in der Wurzel keine Rolle mehr

In Ergänzung zu dem Beitrag von Sumo möchte ich noch sagen, daß deine (DGU) Überlegung zwar irgendwo stimmt, aber damit für mich keine saubere Limesbildung durchgeführt ist. Das erinnert mich zu stark an:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~(1+ \frac 1 n)^n = 1 \end{eqnarray*}$ , denn der Term in der Klammer geht gegen 1 und 1^n ist gleich 1. Daß das grottenfalsch ist, wissen wir alle.

27.03.2007, 12:32

VinSander82

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hi sumo, sag ma kannst du mir mal erklären schritt für schritt wie du darauf gekommen bist, z.b bist du auf einmal in einem bruch

ich muss das wissen, sonst krieg ich's nicht hin

oder hast du erwiter mit irgend einer zahl

lg vinni

27.03.2007, 12:48

kiste

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erweitert, so das sich die 3. binomische Formel ergibt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+n}-n= \left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\cdot \frac{\sqrt{n^2+n}+n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} \end{eqnarray*}$

27.03.2007, 12:57

WebFritzi

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Zitat:

Original von klarsoweit
In Ergänzung zu dem Beitrag von Sumo möchte ich noch sagen, daß deine (DGU) Überlegung zwar irgendwo stimmt, aber damit für mich keine saubere Limesbildung durchgeführt ist. Das erinnert mich zu stark an: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~(1+ \frac 1 n)^n = 1 \end{eqnarray*}$ , denn der Term in der Klammer geht gegen 1 und 1^n ist gleich 1. Daß das grottenfalsch ist, wissen wir alle.

Kann klarsoweit nur zustimmen. Und ganz außerdem ist Sumos Vorgehen das "Standard-Vorgehen".

27.03.2007, 13:48

VinSander82

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danke jungs für den support

lg vinni

27.03.2007, 15:43

Frooke

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Noch ein Wort zu meiner Verteidigung Augenzwinkern

: Ich wollte eigentlich nur illustrieren, woher die 0.5 kommen...

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