Vektorfeld in anderen Koordinaten darstellen - wie geht das?

08.11.2004, 22:46	DanielS	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorfeld in anderen Koordinaten darstellen - wie geht das? Hallo, ich habe folgendes Problem: Wie rechne ich ein gegebenes Vektorfeld (z.B. in kartesischen Koordinaten gegebenes) in andere Koordinaten um? Zum Beispiel: $\begin{eqnarray} M^n = S^n \subset \mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray}$ ist die Sphäre mit der Karte der stereographischen Projektion: $\begin{eqnarray} h(y^1 \ldots y^n) = \left( \frac{2y^1}{\|y\|^2 + 1 }, \ldots , \frac{2y^n}{\|y\|^2 + 1} , \frac{\|y\|^2 - 1}{\|y\|^2 +1} \right) , \, \, h: \mathbb{R}^n \rightarrow S^n \end{eqnarray}$ Berechnen Sie die Formeln für den Gradienten einer Funktion, für die Divergenz eines Vektorfeldes sowie für den Laplace-Beltrami-Operator auf der Spähre $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ in den Koordinaten der stereographischen Projektion. Also mir würde es ja schon reichen, wenn mir einer sagt, wie ich den Gradienten auf $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ in die anderen Koordinaten umrechne, also das Vektorfeld $\begin{eqnarray} V(x,y) = \left ((x,y), \left( \frac{\partial}{\partial x} \, , \frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \end{eqnarray}$

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