meßbar? . . . .nullmenge?

Neue Frage »

schnitzelchen Auf diesen Beitrag antworten »
meßbar? . . . .nullmenge?
gruss allerseits .. .

ich verzweifle hier an 2 aufgaben .. . für einige tipps wäre ich euch SEHR dankbar . . .

1. zeige, dass der Durchschnitt abzählbar vieler meßbarer Mengen in R^n meßbar ist .

. . ..wie zeigt man sowas ???

2. zeige, dass der Rand der (n+1)-dimensionalen Kugel, also die n-dimensionale Sphäre



eine NULLMENGE ist !!!!

...wie zeigt man, dass so eine menge eine nullmenge ist ??


vielen dank für nen paar schnelle antworten(muss morgen etwas davon haben ^^)

schnitzelchen . . Forum Kloppe
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.
Könntest du uns bitte noch sagen, wie ihr das Lebesguemaß definiert habt? Maßtheoretisch (dann wüsste ich nicht, wie es sein kann, dass die Sigma-Additivität zu beweisen ist, aber von Maßtheorie habe ich ja eh keine Ahnung), oder über ein Integral, also als
?
Erst dann wissen wir nämlich, was zu zeigen ist.
schnitzelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das Lebesgue mass haben wir genauso definiert(integral ueber die char. fkt) . . .
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann mal los.
Erstmal nur 1):
Gegeben seien also die messbaren Mengen und zu zeigen ist, dass messbar ist.
Überlege dir mal, wie du die charakteristische Funktion von A mit den charakteristischen Funktionen der Mengen ausdrücken kannst. Anschließend bedarf es nur noch zweier grundlegender Sätze über messbare Funktionen (die du hoffentlich kennst), um zu zeigen, dass die charakteristische Funktion von A messbar ist und das dürfte ja auch gerade eure Definition für die Messbarkeit der Menge sein.
schnitzelchen Auf diesen Beitrag antworten »

...hmmm

"Überlege dir mal, wie du die charakteristische Funktion von A mit den charakteristischen Funktionen der Mengen ausdrücken kannst":

...aufsummieren/integrieren ?... . ehrlich gesagt hänge ich gerade hier. . .

....dann kann ich vielleicht mit dem satz von beppo levi zeigen , dass die Mengen(oder deren durchschnitt) integrierbar sind.. .? (integrierbar/messbar ist doch hier das selbe oder nicht ? oder doch? . . . ggnnn)
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm' mal zwei Mengen A und B, sowie ihre charakteristischen Funktionen und
Die charakteristische Funktion des Durchschnittes ist per Definition genau für die Punkte 1, die sowohl in A, als auch in B liegen und sonst 0. Es gibt eine ganz einfache Art, eine solche Funktion aus den beiden charakteristischen Funktionen von A und B zu gewinnen, denk nochmal drüber nach.
Messbar ist ein allgemeinerer Begriff als integrierbar, so ordnet man einer Menge, deren charakteristische Funktion messbar, aber nicht integrierbar ist, das Lebesguemaß zu. Der gesamte hat zum Beispiel das Maß , denn seine charakteristische Funktion ist offensichtlich nicht integrierbar.
Oder habt ihr das L-Maß vielleicht nur für Mengen mit einem endlichen Maß definiert, also nur für Mengen, deren charakteristische Funktion integrierbar ist?
 
 
LeereMenge Auf diesen Beitrag antworten »

Kenn mich nur begrenzt mit maßtheorie aus, aber meßbar ist nicht das selbe wie integrierbar. ein integral existiert nur dann, wenn es kleiner undendlich ist, messbare räume koennen wie z.B. R ein mass von unendlich haben.
die zwei wuerde ich so angehen, dass ich versuchen wuerde, das maß der sphaere zu bestimmen. wenn du dann das maß der inneren punkte bestimmst und dieses von dem maß der spaere abziehst erhaellst du das mass der randpunkte.
schnitzelchen Auf diesen Beitrag antworten »

....thx {} . . .

...zu den char. fkt. :

...aaahhh . . man kann sie einfach miteiner multiplizieren, dann bekommt man eine fkt, die nur dort 1 ist, wo beide char. fkt 1 sind Hammer . . .und dann ? levi?
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, miteinander multiplizieren.
Entsprechend gilt für die charakteristische Funktion von A

Jetzt benötigt man die beiden Sätze:
Sind f und g messbare Funktionen auf I, so ist auch ihr Produkt messbar auf I.

Sind die Funktionen alle messbar auf I und strebt fast überall auf I, so ist auch f messbar auf I.

Aus ihnen folgt sofort, dass auch messbar ist, doch wenn du diese Sätze nicht kennst, weiß ich nicht, wie man es zeigen kann.
schnitzelchen Auf diesen Beitrag antworten »

...der erste satz ist mir klar . . . aber zum 2ten frage ich mich : strebt wirklich . . . doch eher das produkt der . . .


...ääähh. . . oder ist das damit gemeint ?. .
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Den 2. Satz wendest du wie folgt an:
Nach dem 1. Satz sind alle endlichen Produkte der charakteristischen Funktionen
messbar, da die einzelnen charakteristischen Funktionen nach Voraussetzung messbar sind (der Satz macht zwar eine Aussage für 2 Funktionen, aber damit gilt es natürlich auch für endlich viele Funktionen).
Und wie wir zusammen geschlossen haben, strebt die Folge dieser gegen die charakteristische Funktion von A, womit diese nach dem 2. Satz messbar ist.
Jetzt klar?
schnitzelchen Auf diesen Beitrag antworten »

YEA!! Rock

...kristallklar .. .


vielen dank für die ausführliche betreuung !!!


...verständniss bringt spass an den aufgaben!!


Prost
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »