Eckpunkt Koordinaten eines beliebigen Rechtecks unter einem Winkel

27.03.2007, 01:33	rocko	Auf diesen Beitrag antworten »
Eckpunkt Koordinaten eines beliebigen Rechtecks unter einem Winkel Hallo ich hoffe hier kann mir jemand bei folgendem Problem helfen. Gegeben sei ein beliebiges Rechteck(Länge a und b, sowie der Mittelpunkt sind bekannt) und der Winkel alpha in einem kartesischen Koordinatensystem. Wie lassen sich die Koordinaten der Eckpunkte berechnen ? a=40 b=60 M(2600\|2400) alpha = 45° (schräges Rechteck unter 45°) Gibts dafür einen einfachen Lösungsweg oder führt hier kein Weg an Vektoren vorbei ? Danke im vorraus. MfG rocko
27.03.2007, 07:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Angaben sind nicht eindeutig. Ich interpretiere sie einmal so, daß $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ der Winkel ist, unter dem die Seite $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ des Rechtecks $\begin{eqnarray} ABCD \end{eqnarray}$ gegen die Horizontale geneigt ist. Wenn nun $\begin{eqnarray} \vec{m} \end{eqnarray}$ der Ortsvektor des Mittelpunktes $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist, bekommst du die Ortsvektoren der Eckpunkte gemäß $\begin{eqnarray} \vec{m} \pm \frac{a}{2} \, \begin{pmatrix} \cos{\alpha} \\ \sin{\alpha} \end{pmatrix} \pm \frac{b}{2} \, \begin{pmatrix} - \sin{\alpha} \\ \cos{\alpha} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hier sind bei $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ alle Vorzeichenkombinationen zugelassen. Das scheint mir der einfachste Weg. Im Spezialfall $\begin{eqnarray} \alpha = 45^{\circ} \end{eqnarray}$ kommt man wegen der speziellen Winkelgröße natürlich auch ohne Trigonometrie aus. Du könntest z.B. durch $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine Gerade mit der Steigung 1 (klar, warum?) legen und sie mit einem Kreis um $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ vom Radius $\begin{eqnarray} \frac{a}{2} \end{eqnarray}$ schneiden. So kommst du zu den Mittelpunkten der Seiten $\begin{eqnarray} AD \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} BC \end{eqnarray}$ . Oder wie wäre es mit Hesseschen Normalformen für die Seitengeraden, sofern bekannt? Überlege selber.
28.03.2007, 00:30	rocko	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo vielen Dank für die Hilfe. Es hat funktioniert.
28.03.2007, 08:47	rocko	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, so jetzt stehe ich schon wieder auf dem Schlauch. Wir haben letztens ein bel. Rechteck unter einem bel. Winkel alpha in einem kart. Koordinatensystem erzeugt. Wie kann ich alle Punkte finden oder berechnen die sich INNERHALB der Fläche dieses Rechtecks befinden. Es geht dabei um die Umsetzung in ein Computerprogramm. Die Eckpunkte sind ja nun bekannt, ebenso der Mittelpunkt. Über Denkanstöße würde ich mich freuen mfg rocko
28.03.2007, 15:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du Normalformen für die Geradengleichungen aufstellst, kannst du so wie hier bei Dreiecken vorgehen: Halbebenen miteinander schneiden. Eine Alternative wäre, dir die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{u} = \overrightarrow{AB}, \vec{v} = \overrightarrow{AD} \end{eqnarray}$ als Spannvektoren eines Koordinatensystems vorzustellen. Ein Punkt $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ liegt dann im Innern des Rechtecks, wenn es eine Darstellung $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AX} = \lambda \, \vec{u} + \mu \, \vec{v} \ \ \text{mit} \ \ 0 < \lambda, \mu < 1 \end{eqnarray}$ gibt. Bei vorgegebenem $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ läuft das also auf ein lineares Gleichungssystem für $\begin{eqnarray} \lambda, \mu \end{eqnarray}$ hinaus.

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