Kürzeste Entfernung zwischen Punkt und Kurve

09.11.2004, 18:45

yamyam

Kürzeste Entfernung zwischen Punkt und Kurve

könnte mir da mal jemand auf die sprünge helfen?

Berechnen Sie kürzeste Entfernung des Punktes (4; 2) zur Kurve y² = 8x.

09.11.2004, 19:51

Teutone

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Du suchst den Punkt auf f(x), an dem eine gerade mit m= senkrecht zu f'(x) durch den punkt P(4,2) geht:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{8x} \end{eqnarray*}$
1. Ableitung
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$
senkrecht dazu bedeutet:
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{f'(x)}= -\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
Nun gibt es da sone 2punkte-Gleichung oder wie die heißt...
$\begin{eqnarray*} \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=m \end{eqnarray*}$
Nun also alles Einsetzten (punkt auf f(x) und m sind in abhängigkeit von x gegeben:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{8x}-2}{x-4}=-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
Viel Spaß nun beim nach x umstellen. Dieses x ist die x-koordinate des gesuchten punktes auf f(x).
Nun kannste in ruhe den Abstand ausrechnen.

@Mathespezialschüler
nicht hauen, ich hab schließlich nicht alles verraten. ok, ich weiß Hammer

15.11.2004, 16:08

yamyam

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hallo,

erstmal vielen dank für die hilfe.

tja, und beim lösen der gleichung bräuchte ich nochmal unterstützung...

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{8x}-2}{x-4}=-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

ich löse die brüche auf und quadriere, um die wurzeln wegzubekommen:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{8x}-2)^2 * (- \sqrt 2)^2 = - (\sqrt{x})^2*({x-4})^2 \end{eqnarray*}$

wird zu

$\begin{eqnarray*} -4\sqrt{8x} = x^3 -8x^2 -8 \end{eqnarray*}$

stimmt das? und nun ? nochmal quadrieren ? Wenn ja, was mach ich dann mit den Potenzen? Wie krieg ich die wieder weg? Substitution geht ja nicht... hmmm

15.11.2004, 18:59

Mathespezialschüler

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@Teutone
Zu viel verraten! Aber gott sei dank wird ne Gleichung 6. Grades draus, da hättest du hierbei vielleicht nochmal n bißchen nachdenken müssen Augenzwinkern

Zitat:

Original von Teutone
Viel Spaß nun beim nach x umstellen.

Hast du es denn geschafft? Hammer

@yamyam
Ich würde einen anderen Weg gehen: Sieh das ganze als Extremwertaufgabe an!! Stelle eine Hauptbedingung für den Abstand von irgendeinem Punkt auf dem Graphen zum Punkt (4,2) auf! Benutze die Nebenbedingung, dass der y-Wert dieses Punktes auf dem Graphen von x abhängt, setze ein und leite ab. Bestimme dann das Minimum! Augenzwinkern

15.11.2004, 19:40

Teutone

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@yamyam
forme in etwa mal so um:
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{8x}-2)*\sqrt{2}=(x-4)*-\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{16x}-2\sqrt{2}=-x\sqrt{x}+4\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4\sqrt{x}-2\sqrt{2}=-x\sqrt{x}+4\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2}=x\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ --> nun ()²
$\begin{eqnarray*} 8=x^3 \end{eqnarray*}$

@Mathespezialschüler
Die gleichung 6. grades hättest du bestimmt auch so geschafft...

15.11.2004, 19:59

Mathespezialschüler

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Da war ich jetzt wohl zu vorlaut. geschockt

Tja, kommt davon, wenn mans nich durchrechnet ...
Bei der Gleichung 6. Grades hätte sich aber nichts weggekürzt ... Augenzwinkern

18.11.2004, 12:29

yamyam

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hallo nochmal,

@teutone:

danke, habs nu (hoffentlich) kapiert.

demnach sollte dann x=2 sein, eingesetzt in f(x) ergibt sich für y=4.

Um die Entfernung zu berechnen, nehm ich dann den Phytagoras:

(x2 -x1)² + (y2 - y1)² = (Strecke P1P2)² => P1P2 = $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

@mathespezialschüler

du hast recht mit der extremwertlösung, so gehts natürlich auch.

desweiteren wollte ich noch sagen:
du bist sehr streng mit dem teutonen in seiner pädagogik. ich denke, es gibt viele wege, die nach rom führen.. mir persönlich hat seine hilfe ganz gut gefallen. nicht zu viel verraten, aber auch nicht zu wenig. und daß hier meine hausaufgaben von anderen leuten gelöst werden, hatte ich auch nicht das gefühl...

danke.

18.11.2004, 20:33

Teutone

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jo stimmt, könnte man aber noch bissel vereinfachen.
Tja, das hier ist nunmal nen "hausaufgabenboard" und ich glaube mit der zeit wird schon von alleine die lust vergehen, komlette Lösungen zu posten...
Die anspielung mit rom gefällt mir Augenzwinkern

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