Strasse finden [gelöst]

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pandu1 Auf diesen Beitrag antworten »
Strasse finden [gelöst]
Ein Mensch hat sich im Wald verirrt. Er befindet sich genau 2 Kilometer von einer geradrer Strasse entfernt , kennt aber die Richtung nicht. Wie soll er gehen, damit er auch in worst case am schnellsten die Strasse findet?
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Strasse finden
Hmm, weiß man etwas über den Verlauf der Straße? Darf man sich das Ganze als einen Kreis mit Radius 2 mit dir als Mittelpunkt und der Straße als Tangente vorstellen?
Und wann erkennt man die Straße? Erst wenn man draufsteht?
 
 
pandu1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Strasse finden
Zitat:
Original von papahuhn
Darf man sich das Ganze als einen Kreis mit Radius 2 mit dir als Mittelpunkt und der Straße als Tangente vorstellen?

Ja, genau so ist es gemeint.
Zitat:
Original von papahuhn
Und wann erkennt man die Straße? Erst wenn man draufsteht?

Richtig, nicht früher.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Also, die erste Lösung, die mir einfällt (natürlich nicht richtig, wäre ja zu einfach) ist 2 km geradeaus und dann im Kreis (Mittelpunkt ist Ursprungspunkt) => max. Weg = 2km + 2*PI*r = 2km + 2PI*2km = 14,5km

air
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Also, die erste Lösung, die mir einfällt (natürlich nicht richtig, wäre ja zu einfach) ist 2 km geradeaus und dann im Kreis (Mittelpunkt ist Ursprungspunkt) => max. Weg = 2km + 2*PI*r = 2km + 2PI*2km = 14,5km

air


nur der ordnung halber, da geht er nur - ohne überstunden


oder verwirrt

und einen kürzeren weg habe ich auch mit

edit: diese lösung ist leider mist unglücklich
werner
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tigererpel,

warum die ersten 2 Kilometer? Könnte man nicht gleich auf der Kreisline eines Kreises mit Radius 2km laufen? Dann müßte man maximal 3/4 des Umfangs zurücklegen.... verwirrt



Aber ich würde eh nicht aus dem Wald finden....Vor lauter Bäumen

Wo ist denn deine EDITh jetzt langgelaufen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

sollen doch die anderen auch noch knobeln dürfen,
daher mit unsichtbarer tinte:

man geht diagonal in eine ecke des umgeschriebenen quadrates, wenn dort nichts ist, genauso zurück über die diagonale, daher




werner
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist damit (oder mit vielen anderen Möglichkeiten)?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du die diagonale meinst:
dieser variante bin ich auch aufgesessen, war wohl schon zu spät verwirrt
die geht aber leider nicht
oder doch verwirrt
werner
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Hallo tigererpel,

warum die ersten 2 Kilometer? Könnte man nicht gleich auf der Kreisline eines Kreises mit Radius 2km laufen? Dann müßte man maximal 3/4 des Umfangs zurücklegen.... verwirrt



Aber ich würde eh nicht aus dem Wald finden....Vor lauter Bäumen

Wo ist denn deine EDITh jetzt langgelaufen?


darum nicht
w
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok. Danke Gestreifter Augenzwinkern
pandu1 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vorschlag von Air:
Zitat:
Original von Airblader
Also, die erste Lösung, die mir einfällt (natürlich nicht richtig, wäre ja zu einfach) ist 2 km geradeaus und dann im Kreis (Mittelpunkt ist Ursprungspunkt) => max. Weg = 2km + 2*PI*r = 2km + 2PI*2km = 14,5km

ist eigentlich sehr gut Augenzwinkern , und der max. Weg für solche Lösung ist auch korrekt, Überstunden gibt es hier nicht. Man könnte dies als "Vorlage" für die optimale Lösung nehmen, und prüffen an welchen Teilen von diesen Weg sind Abkürzungen möglich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wernerrin
nur der ordnung halber, da geht er nur - ohne überstunden


Warum 2 + 3pi und nicht 2 + 4pi? verwirrt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von wernerrin
nur der ordnung halber, da geht er nur - ohne überstunden


Warum 2 + 3pi und nicht 2 + 4pi? verwirrt


schau dir die skizze an!
2 km geradeaus wie von airblader angegeben, aber dann bist du spätestens nach einem 3/4-kreis am ziel, daher "keine überstunden" für das restviertel Prost

und es geht auf jeden fall kürzer
werner
pandu1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wernerrin
schau dir die skizze an!
2 km geradeaus wie von airblader angegeben, aber dann bist du spätestens nach einem 3/4-kreis am ziel, daher "keine überstunden" für das restviertel Prost
werner

Da bin ich nicht so sicher.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ja das war schon wieder derselbe kurzschluß
dann stimmt auch der rest nicht unglücklich
werner
pandu1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist trotzdem einer Überlegung Wert: Was kann man nach 3/4 Kreis besser machen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »


so in etwa
werner
pandu1 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, es ist schon näher!
matze(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte ja nachdem man 3 / 4 des Kreisumfangs zurückgelegt hat, gerade aus weiter gehen. Die Länge der Strecke wäre dann

\edit: da habe ich noch die 2Km vergessen, die man am Anfang gehen muss und dann hat das schon jemand vor mir gesagt Hammer

\edit2: und wie sieht es mit aus?

\edit3: nach dieser Überlegung dann
pandu1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von matze(2)

\edit3: nach dieser Überlegung dann

Ist eher 2 x sqrt(2), oder?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

13.99056 km

besonders viel gewonnen ist da allerdings nichts


Update:
13.24449 km
matze(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer ...leider ja
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

12.7945 km
pandu1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
12.7945 km

Das ist richtig. Wink
Kannst du den Weg beschreiben?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

4/3*sqrt(3) geradeaus und 'sonst' nach Plan.
pandu1 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ist die Strasse am schnellsten gefunden! Freude
pavian Auf diesen Beitrag antworten »
Erläuterung
Hi, kannst du oder kann jemand anderes die Skizze und den Lösungsweg etwas erläutern? wie kommt man auf 60 Grad, den zweiten Kreis und Wurzel 3? Danke und Gruß
Fragen über Fragen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
die zwei gestrichelten Kreise sind anscheinend nur Hilfslinien zur Konstruktion.

Die Straße ist eine Tangente an den Kreis. Im schlimmsten Fall muss der Wanderer jede Tangente des Kreises berühren oder schneiden, wobei sich dann sozusagen erst die "letzte" Tangente als die Straße entpuppt.

Das Grundgerüst ist das geradlinige Laufen im Kreis bis zum Kreisrand (gerade Linie ist im Kreis der kürzeste Weg) und das anschließende Laufen auf dem Kreisrand.
Nun kann man (nur) am Anfang und am Ende der Rundreise noch Weg einsparen.

Am Anfang: man lenkt nicht sofort in die Kreisbahn ein, sondern geht noch ein kleines Stück weiter und dann erst tangential in die Kreisbahn.

Die genauen Daten kann man stumpf als Ergebnis einer Extremwertaufgabe erhalten:
Nimm die Länge eines der geraden Wegstücke, z. B. die Strecke, die man vom Ursprung aus geradlinig läuft, als Variable x an.
Drücke die Länge y des kleinen Tangentenstücks und die Länge z des Kreisbogens, den man nicht beschreitet, nun in Abhängigkeit von x aus (mithilfe geometrischer Beziehungen).

Die Wegersparnis beträgt nun z - (x+y) und ist zu maximieren (erste Ableitung nach x gleich Null setzten pipapo, aber frag ruhig nach, falls dir das nicht geläufig ist).
So erhält man z. B. x= 4/3*sqrt(3) und den in der Zeichnung eingetragenen 60° Winkel.

Dass das geradlinige Weiterlaufen überhaupt funktioniert liegt eben daran, dass man auf dem Stück, auf dem man abgekürzt hat, keine Tangente verliert - die Tangenten auf dem ausgelassenen Kreisbogen schneiden alle den Weg des Wanderers.
pavian Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fragen über Fragen
Drücke die Länge y des kleinen Tangentenstücks und die Länge z des Kreisbogens, den man nicht beschreitet, nun in Abhängigkeit von x aus (mithilfe geometrischer Beziehungen).

Die Wegersparnis beträgt nun z - (x+y) und ist zu maximieren (erste Ableitung nach x gleich Null setzten pipapo, aber frag ruhig nach, falls dir das nicht geläufig ist).
So erhält man z. B. x= 4/3*sqrt(3) und den in der Zeichnung eingetragenen 60° Winkel.



Danke für die Erläuterungen. Die Grundidee habe ich verstanden. Auch die Überlegung, die Wegersparnis von z - (x+y) über die erste Ableitung zu optimieren. Allerdings stehe ich auf dem Schlauch hinsichtlich der geometr. Beziehungen und Abhängigkeiten zu x.
Für den Kreisbogen kenn ich: z = Pi * r * alpha/180, aber wie lassen sich diese 60Grad herleiten?
Auf X komme ich darüber, dass X = Hypothenuse = r/sin 60Grad = 2,309, was 4/3 +Wurzel3 entspricht. Allerdings erneut die Frage, woher ich auf diesen Winkel komme? Ich denke, da gehe ich schon zu sehr von der Lösung aus heran.

Für y fällt mir keine gescheite Beziehung ein. Sorry!
Fragen über Fragen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dass der Winkel ausgerechnet 60° beträgt (und in der Lösungszeichnung extra eingezeichnet wurde) beschäftigt mich auch - es gibt wahrscheinlich eine schönere Lösung, bei der diese Beziehung rauskommt.
Beim Extremwertproblem komme ich nur auf x, und wie du es beschrieben hast kann man daraus dann die 60° berechnen.

Zitat:
Für y fällt mir keine gescheite Beziehung ein. Sorry!

Ich glaube du wirst dich gleich sehr ärgern Augenzwinkern :
y= Wurzel (x² - 2²)
und z= 2*2*arccos(2/x).
Die eine 2 vor dem arccos ist der Radius, die andere 2 vorm arccos sorgt für die Verdopplung des Winkels (der Winkel ist der halbe Öffnungswinkel des Kreissektors).
pavian Auf diesen Beitrag antworten »
Großes Fragezeichen, Lösung ist schon nah...
Naja, also die Feststellungen basieren ja darauf, dass der Winkel von 60 Grad feststeht. Dann gilt auf y= Wurzel (x² - 2²).

Allerdings wurmt es mich extrem, wie ich genau darauf komme, dass der Winkel 60 Grad bzw. 120 Grad betragen. Kann das jemand erläutern?? Wie lässt sich der optimale Weg in Formeln fassen??

Ich habe zwei Links gefunden, die das Thema behandeln. Allerdings bleibt mir die eindeutige Erklärung immer noch unschlüssig. Wer kann helfen? Hier die Links:

http://www.cs.ucsb.edu/~suri/cs231/Rlist/search.pdf

http://mathdl.maa.org/images/upload_libr...inch645-654.pdf
Fragen über Fragen Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal ist für mich anschaulich klar, dass man nur zu Beginn und am Ende seiner Reise Weg sparen kann, und auch dass das Wegsparen am Anfang nur funktioniert, wenn man ein Stück rausgeht aus dem Kreis.

Wenn man aber geradlinig rausgeht und tangential wieder reingeht,
kann man immer ein Drachenviereck zeichnen, mit den Seiten r (Radius) und y (Tangente); die lange Diagonale ist x.

[ja ich vermische hier Längenvariablen und Seitennamen, um nicht zu viele Bezeichnungen zu haben]

Und zwischen y und r ist der Winkel doch immer 90° , weswegen das Dreieck mit den Seiten r,x,y immer rechtwinklig ist. Oder wo braucht man da die 60° schon?
Ich denke man braucht die Extremwertaufgabe auch nicht für x zu formulieren, sondern kann sie auch gleich für den Winkel aufstellen - so müsste man auch auf 60° kommen und berechnet daraus dann x.

Und hat man erstmal diesen Weg für den Anfang festgesetzt, ergibt sich der Einsparweg am Ende ganz automatisch, indem man nur bis zu der Tangente weitergeht, die man am Anfang noch nicht berührt hat.

Die 60° braucht man nur vorher, wenn man Endweg und Anfangsweg als unkorreliert betrachtet oder?

Übrigens danke für die Links, habe sie bloß überflogen aber sieht interessant aus.
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